|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy).
Diagonalizacja macierzy. Def. 1 Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X J X – endomorfizm λ∈ K nazywamy wartością własną endomorfizmu f : ⇔ istnieje v∈ , v≠ taki, że f(v)=λv Jeżeli λ jest wartością własną endomorfizmu f to każdy wektor u∈ , taki że f(u)=λu nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f odpowiadającym wartości własnej λ . Λ - zbiór wartości własnych nazywamy widmem endomorfizmu. X : {v X:f(x)=λv} Twierdzenie 1 Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X J X – endomorfizm λ - wartość własna endomorfizmu T: (X λ , K,+, ⋅ ) – jest podprzestrzenią przestrzeni X Def. 2 (X λ , K,+, ⋅ ) – nazywamy przestrzenią własną endomorfizmu f. Wniosek: dimX λ ≥1 Przykład 1 Z: +⋅ \ \ +⋅ -zbiór funkcji różniczkowalnych C ∞ C ∞ D(f) = f’ λ∈ \ f: f(x) = a ⋅ e λ x a – ustalona liczba (D(f))(x) f’(x) = λ ae λ x (D(f))(x) = λ ae λ x = λ⋅ f(x) Np. Dla λ =3: X 3 ={f: f(x) = a ⋅ e 3x , a ∈ } \ Twierdzenie 2 Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X J X – endomorfizm T: Jeden niezerowy wektor własny endomorfizmu odpowiada dokładnie jednej wartości własnej. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 6 Część 12 –Wartości i wektory własne λ =∈ (C , , , ) ∞ \ \ (C , , , ) ∞ D: J B=(e , e ,..., e ) - baza A=M f (B,B) T: λ∈ K jest wartością własną endomorfizmu ⇔ det(A - λ I)=0 12 n Def. 3 Z: A n × n =[a ij ] – macierz λ - nazywamy wartością własną macierzy A : ⇔ det(A - λ I)=0. λ ⋅ = nazywamy wektorem własnym macierzy A dopowiadającym wartości własnej λ macierzy A. Wniosek: 1. A=M f (B, B) Np. f: K n → K n λ - jest wartością własną macierzy A ⇔ jest wartością własną e ndomorfizmu f. 2. x - jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ macierzy A ⇔ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ endomorfizmu. Uwaga Ze względu na ścisły związek między λ endomorfizmu, a λ macierzy wszystkie twierdzenia udowodnione dla endomorfizmu są prawdziwe dla macierzy. Def. 4 a " a 10 " 0 a λ a 11 − 12 " a 1n 11 1n 01 0 # a a λ − # det(A-λI)=det( #%# − λ )dt 010 = 21 22 = # # % a " a n1 nn 0 " 0 1 a " a a λ − n1 nn-1 nn = ±λ+βλ+βλ+...+βλ+β (λ n-1 n-2 = ∆ n-1 n-2 1 0 ∆ - nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A (endomorfizmu). Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego wielomianu charakterystycznego. (λ Uwaga Wartości własne endomorfizmu nie zależą od wyboru bazy przestrzeni (są niezmiennikami endomorfizmu). Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 6 Część 12 –Wartości i wektory własne Twierdzenie 3 Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X J X – endomorfizm dimX=n Jeśli λ jest wartością własną macierzy A to każdy wektor x: (A- I) x 0 Przykład 2 120 A= 0 2 0 -2 -2 -1 f: R (baza kanoniczna) 3 → 3 1- λ 2 0 ∆= ( ) det(A- I)= 0 2- λ λ λ 0 =− −−− (2 )(1 )( 1 ) λ λ λ -2 -2 -1- λ ∆=⇔=∨=∨=− () 0 λ λ λ λ 1 2 2 1 3 1 k =1 k =1 k =1 1 2 3 Szukamy przestrzeni własnych. Dla λ =2 -1 2 0 x 0 000 x 0 -2 -2 -3 x ⋅ = 1 2 0 3 Zbiór rozwiązań powyższego równania to przestrzeń własna. -x 2x 0 -2x 2x 3x 0 1 + 2 = −−= 1 2 3 -x 2x 0 -6x 3x 0 1 + 2 = −= 2 3 x2 x x2 1 = = =− α α α 2 3 R Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla pozostałych wartości λ . Twierdzenie 4 Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X → X endomorfizm λ 1 , λ 2 ,..., λ p : λ i ≠λ j ⇒ i ≠ j λ i – wartości własne endomorfizmu v , v ,..., v : v ≠ -wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ i 12 p i T: v , v ,..., v p - są liniowo niezależne 12 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 6 Część 12 –Wartości i wektory własne Czyli: X 2 ={(2 α , α ,-2 α )}={ α (2,1,-2) α∈ } Def. 5 (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X → X endomorfizm f – nazywamy endomorfizmem diagonalizowalnym : ⇔ istnieje B – baza przestrzeni X, względem której macierz tego endomorfizmu jest diagonalna, Diagonalizowalność Twierdzenie 5 Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X → X endomorfizm T: f – jest endomorfizmem diagonalizowalnym ⇔ w przestrzeni X istnieje baza złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu. Wnioski: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X → X endomorfizm 1. Jeśli endomorfizm f jest diagonalizowalny to w macierzy M f (B,B) na przekątnej głównej znajdują się (niekoniecznie różne) wartości własne endomorfizmu, a poza tym elementami macierzy są zera. 2. Warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym diagonalizowalności endomorfizmu jest, aby miał w przestrzeni n – wymiarowej n – wartości własnych. Def. 6 A n × n – o elementach z ciała K nazywamy diagonalizowalną jeżeli jest podobna do pewnej macierzy diagonalnej ( ∃ P – nieosobliwa ∧ ∃ D – diagonalna takie, że: D=P -1 ⋅ A ⋅ P) Wniosek: A=M f (B,B) f - endomorfizm 1. Z def. 2 wynika, że A jest diagonalizowalna ⇔ f jest endomorfizmem diagonalizowalnym. 2. Ze względu na ścisły związek macierzy i endomorfizmów twierdzenia dotyczące twierdzenia dotyczące diagonalizwalności endomorfizmu są prawdziwe dla macierzy i na odwrót. Przykład 3 -1 0 -1 A= 3 2 3 -3 0 1 Sprawdzić, czy A – diagonalizowalna. -1-λ 0-1 1 λ -1 det(A-λI)= 3 2-λ 3(2λ)(-1) =− 2+2 (2 λ)(λ+2) -3 1 λ -3 0 1-λ λ 1 =2 k 1 =2 λ 2 =-2 k 2 =1 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 6 Część 12 –Wartości i wektory własne −− =− − λ 2 =-2 -1 0 -1 x 0 323 x 0 -3 0 1 ⋅ = 1 2 x 0 3 x -x 0 3x 4x 3x 0 3x +3x 0 1 3 = x -x 0 4x 6x 0 0 0 1 3 = − ++= + = 1 2 3 2 3 1 2 = = x α x α x α 3 = =− 3 2 2 1 = X α(1,- ,1), α } = 3 ∈ R -2 2 dim X -2 =1 λ 1 =2 -3 0 -1 x 0 303 x 0 -3 0 -1 x ⋅ = 1 2 0 3 -3x -x 0 3x 3x 0 -3x -x 0 1 3 = x0 x0 x β 3 = += = 1 3 1 1 3 = 2 = X 2 ={ β (0,1,0), β∈ } R dim X 2 =1 Wniosek: Macierz nie jest diagonalizowalna ponieważ w nie istnieje baza wektorów własnych. R 3 Twierdzenie 6 Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa dim X=n f: X → X endomorfizm ∆(λ)=±(λ-λ ) λ-λ ) ... (λ-λ ) k 1 k 2 ⋅⋅ k p 1 2 p λ i ≠ λ j ⇒ i ≠ j k 1 +k 2 +...+k p =n ≤ T 2 : (WKW) f – jest diagonalizowalny ⇔ ∀ i=1,2,...,p: dim X λ i =k i i=1,2,...,p: 1 dim X ≤ i λ i k Przykład 4 -1 0 -1 323 -3 0 1 A= ∆ ( λ )=det(A- λ I)=-( λ -2) 2 ( λ +4) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 6 Część 12 –Wartości i wektory własne T 1 : ∀ |
Menu
|