|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
GEO.TEX
March 1, 2005 Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej Pawel Urbanski Division of Mathematical Methods in Physics University of Warsaw Hoza 74, 00-682 Warszawa 1. Trochƒ topologii. Topologi¡ na zbiorze M nazywamy rodzinƒ podzbior ó w M o nastƒpuj¡cych w“asno- –ciach: (a) ;;M 2 (b) je»eli O 1 ;O 2 2 , to O 1 \O 2 2 (c) dla dowolnej rodziny (O ) 2I zbior ó w nale»acych do ich suma S 2I O 2 . Podzbiory nale»¡ce do rodziny nazywamy zbiorami otwartymi. Zbi ó r M z ustalon¡ topo- logi¡ nazywamy przestrzeni¡ topologiczn¡. 1.1. Aksjomaty oddzielania. Ze wzglƒdu na w“asno–ci oddzielania wyr ó »nimy nastƒpu- j¡ce klasy topologii: T 1 Dla ka»dej pary r ó »nych punkt ó w x;y 2 M istnieje zbi ó r otwarty O taki, »e x 2 O oraz y 62 O. W takiej przestrzeni zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty. T 2 Dla ka»dej pary r ó »nych punkt ó w x;y 2 M istniej¡ zbiory otwarte O;U takie, »e x 2 O; y 2 U oraz O \U = ;. Przestrze« z topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ przestrzeni¡ Hausdora. T 3 Dla ka»dego punktu x 2 M oraz zbioru domkniƒtego A M takiego, »e x 62 A istniej¡ zbiory otwarte O;U M takie, »e x 2 O; A U oraz O \ U = ;. Za- k“ada siƒ przy tym, »e zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu T 1 ). Przestrze« z topologi¡ z tymi w“asno–ciami nazywa siƒ przestrzeni¡ regularn¡. T 4 Dla ka»dej pary roz“¡cznych zbior ó w domkniƒtych A;B M; A\B = ; istniej¡ roz“¡czne zbiory otwrte O;U takie, »e A O; B U. Jak i poprzednio zak“ada siƒ, »e zbi ó r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu T 1 ). Przestrze« z topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ przestrzeni¡ normaln¡. Przestrzenie normalne s¡ dla nas interesuj¡ce ze wzglƒdu na poni»sze podstawowe twier- dzenie, ze wzglƒd ó w historycznych nazywane lematem. Twierdzenie 1 (lemat Urysohna). Je»eli A i B s¡ domkniƒtymi zbiorami w przestrzeni normalnej M oraz A\B = ;, to istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka, »e 1 dla x 2 B 0 dla x 2 A Dowod: (Szkic): Chcemy zb udowa¢ rodzinƒ zbior ó w otwartych fU w g, gdzie w 2Q\[0; 1] i takich, »e je»eli w < w 0 , to U w U w 0 oraz A U 0 , B = MnU 1 . Niech (w n ) bƒdzie ci¡giem wszystkich liczb wymiernych z przedzia“u [0; 1] takim, »e w 1 = 0 oraz w 2 = 1. Przestrze« jest normalna, wiƒc istniej¡ roz“ ¡c zne zbiory otwarte U A i O B. K“adziemy U 0 = U i U 1 = M nB. Mamy oczywi–cie U 0 U 1 . Za“ ó »my teraz, »e mamy ju» zbudowan¡ rodzinƒ U w 0 ::: U w n . Wybierzmy z ci¡gu w 0 ::: w n dwie liczby: liczbƒ w l najbli»sz¡ w n+1 spo–r ó d mniejszyc h o d niej i liczbƒ w p na jbli»sz¡ w n+1 spo–r ó d wiƒkszych od niej. Mamy oczywi–cie w l < w p i U w l U w p . Zbiory U w l i M nU w p s¡ d om kniƒte i roz“¡czne, wiƒc z normalno–ci pr zestrzeni istniej¡ roz“¡czne zbiory otwarte U U w l i O (M nU w p ). Wynika st¡d, »e U U w p . K“adziemy U w n+1 = U. Maj¡c rodzinƒ (U w ) deniujemy funkcjƒ f: M ! [0; 1] wzorem f(x) = f(x) = inf x2U w w: Pokazuje siƒ, »e funkcja f jest ci¡g“a. 1 Twierdzenie 2 (Tietze{Urysohn). Niech A bƒdzie zbiorem domkniƒt ym w przestrzeni normalnej M. Dla ka»dej funkcji ci¡g“ej f : A !R istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka, »e f(x) = f(x) dla x 2 A. 1.2. Przestrzenie parazwarte. M ó wimy, »e rodzina zbior ó w otwartych (O ) 2I tworzy pokrycie M, je»eli [ 2I O = M. M ó wimy, »e pokrycie (U ) 2A jest wpisane w pokrycie (O ) 2I je»eli dla ka»dego 2 A istnieje 2 I takie, »e U O . Pokrycie (O ) 2I nazywamy lokalnie sko«czonym, je»eli dla ka»dego x 2 M istnieje oto- czenie U 3 x takie, »e U \O 6= ; tylko dla sko«czonej liczby wska„nik ó w. Definicja 1. Przestrze« topologiczn¡ Hausdora (M; ) nazywamy parazwart¡ je»eli w ka»de pokrycie otwarte przestrzeni mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone. Pokazuje siƒ, »e ka»da przestrze« parazwarta jest normalna. 2. Rozmaito–ci r ó »niczkowe. Niech M bƒdzie przestrzeni¡ topologiczn¡. Map¡ w M nazywamy tr ó jkƒ c = (U;’;m), gdzie U jest otwartym podzbiorem M, m jest nieujemn¡ liczb¡ ca“kowit¡ i ’ jest home- omorzmem U na otwarty podzbi ó r ’(U) w R m . Zbi ó r U jest nazywany dziedzin¡ mapy c, a liczba m wymiarem mapy c. Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ w M i niech B bƒdzie otwartym podzbiorem M, za- wartym w U. Tr ó jka cjB = (B;’jB;m) jest map¡ w M nazywan¡ obciƒciem mapy c do B. Dwie mapy c = (U;’;m) and c 0 = (U;’ 0 ;m 0 ) z t¡ sam¡ dziedzin¡ U s¡ zgodne je»eli dwa homeomorzmy ’ 0 ’ 1 : ’(U) ! ’ 0 (U) (1) i ’’ 01 : ’ 0 (U) ! ’(U) (2) s¡ r ó »niczkowalne. R ó »niczkowalne bƒdzie zawsze oznacza¢ niesko«czenie r ó »niczkowalne, czyli klasy C 1 . Wymiary m i m 0 zgodnych map s¡ r ó wne. Dwie dowolne mapy c = (U;’;m) i c 0 = (U 0 ;’ 0 ;m 0 ) nazywamy zgodnymi je–li albo U \U 0 jest zbiorem pustym albo obciƒcia c i c 0 do U \ U 0 s¡ zgodne. Atlas na M jest zbiorem parami zgodnych map takich, »e ich dziedziny stanowi¡ pokrycie M. Je»eli ka»da mapa zgodna z mapami atlasu nale»y do tego atlasu, to m ó wimy, »e atlas jezt zupe“ny lub maksymalny. Ka»dy atlas generuje atlas maksymalny. Definicja 2. Rozmaito–ci¡ r ó »niczkow¡ nazywamy topologiczn¡ przestrze« Hausdora M z atlasem maksymalnym. Elementy atlasu nazywamy mapami rozmaito–ci r ó »niczkowej M. Rozmaito–¢ r ó »niczkow¡ nazywa¢ bƒdziemy czyst¡ o wymiarze m je–li wszystkie jej mapy s¡ wymiaru m. W dalszym ci¡gu rozpatrywa¢ bƒdziemy tylko czyste rozmaito–ci. Zbi ó r R m posiada kanoniczn¡ strukturƒ rozmaito–ci r ó »niczkowej zdeniowan¡ przez atlas zupe“ny generowany atlasem sk“adaj¡cym siƒ z jednej mapy (R m ; 1 R m ;m). Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ rozmaito–ci M i niech pr :R m !R bƒdzie kanonicznym rzutowaniem dla = 1;::: ;m. Funkcje x = pr j’(U) ’: U ! R nazywamy lokalnymi wsp ó “rzƒdnymi dla mapy c. Niech bƒdzie odwzorowaniem z rozmaito–ci r ó »niczkowej M do rozmaito–ci r ó »niczkowej N i niech c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) bƒd¡ mapami odpowiednio M i N takimi, »e (U) V . Odwzorowanie ’ 1 : ’(U) ! (V ) (3) nazywamy lokalnym wyra»eniem odwzorowania w mapach c i d. Definicja 3. Niech M i N bƒd¡ rozmaito–ciami r ó »niczkowymi. Odwzorowanie : M ! N nazywamy r ó »niczkowalnym je»eli wszystkie jego lokalne wyra»enia s¡ r ó »niczkowalne. Dy- feomorzm jest bijektywnym odwzorowaniem r ó »niczkowalnym z r ó »niczkowalnym odwzo- rowaniem odwrotnym. 2 Zbi ó r odwzorowa« r ó »niczkowalnych z M do N jest oznaczany C 1 (N;M). Oczywistym jest, »e z“o»enie odwzorowa« r ó »niczkowalnych rozmaito–ci jest odwzorowaniem r ó »niczko- walnym. Zbi ó r C 1 (R;M) wszystkich funkcji r ó »niczkowalnych na M jest przemienn¡ algebr¡ “¡czn¡ nad cia“em R. Oznacza¢ j¡ bƒdziemy C(M). Definicja 4. Niech U bƒdzie otoczeniem punktu q 2 M. M ó wimy, »e r ó »niczkowalna funkcja h: M !R separuje punkt q w zbiorze U je»eli (a) istnieje otoczenie V punktu q takie, »e hjV = 1 oraz (b) istnieje otwarty zbi ó r W taki, »e U [W = M i hjW = 0. R ó wno–ci hjV = 1 i hjW = 0 implikuj¡, »e zbiory V i W s¡ roz“¡czne. Wynika st¡d, »e V U, bo U [W = M. Zauwa»my, »e je»eli funkcja h separuje punkt q w otoczeniu U i f jest funkcj¡ na M tak¡, »e fjU = 0, wtedy hf = 0. Je»eli U i U 0 s¡ otoczeniami punktu q, U U 0 i funkcja h separuje q in U, to h separuje q w U 0 . Stwierdzenie 1. Dla ka»dego otoczenia U punktu q 2 M istnieje nieujemna funkcja h separuj¡ca q w U. Dowod: Wiadomo, »e funkcja :R!R 0 dla t 0 : t 7! (4) exp(t 1 ) dla t > 0 jest niesko«czenie wiele razy r ó »niczkowalna. Zauwa»my, »e exp((t") 1 ) > 0 dla t < " ("t) = (5) 0 dla t " i 0 dla t "=2 (t"=2) = (6) exp(("=2 t) 1 ) > 0 dla t > "=2: Zatem ("t) + (t"=2) > 0: (7) Wynika st¡d, »e funkcja " :R7!R ("t) ("t) + (t"=2) : t 7! (8) jest niesko«czenie r ó »niczkowalna. Mamy " (t) = 1 dla t < "=2 i " (t) = 0 dla t > ". W przedziale ["=2;"] funkcja " maleje monotonicznie. Niech U bƒdzie dziedzin¡ mapy c = (U;’;m) zawieraj¡c¡ punkt q 2 M i niech x (k = 1;::: ;m) bƒd¡ lokalnymi wsp ó “rzƒdnymi tej mapy. Niech " bƒdzie dodatni¡ liczb¡ tak¡, »e domkniƒta kula ( ) X (q 0 ) 2R m ; (q 0 q ) 2 " 2 B(q ;") = (9) =1 jest zawarta w ’(U). Niech V bƒdzie przeciwobrazem ’ 1 (B(q ;"=2)) otwartej kuli ( ) X (q 0 ) 2R m ; (q 0 q ) 2 " 2 =4 B(q ;"=2) = : (10) =1 3 Zbi ó r W = M n’ 1 B(q ;") (11) jest otwarty i U [W = M. Funkcja h: M !R p P m =1 (x (q 0 ) x (q)) 2 ( dla q 0 2 U " : q 0 7! dla q 0 62 U 0 jest niesko«czenie r ó »niczkowalna, hjV = 1 i hjW = 0. Zatem h separuje q w U. Je»eli U nie jest dziedzin¡ mapy, to funkcjƒ h separuj¡c¡ q w U dostaniemy stosuj¡c powy»sz¡ konstrukcjƒ do dowolnej dziedziny mapy, zawieraj¡cej q i zawartej w U. Stwierdzenie 1. Odwzorowanie : M ! N jest r ó »niczkowalne wtedy, gdy dla ka»dej funkcji r ó »niczkowalnej f 2C(N) mamy f = f 2C(M): Dowod: Je»eli odwzorowanie jest r ó »niczkowalne i f 2C, to f jest r ó »niczkowalna, bo z“o»enie odwzorowa« r ó »niczkowalnych jest r ó »niczkowalne. Niech teraz f 2C(M) dla ka»dej funkcji f 2C(N). Lokalne wyra»enie ’ 1 : ’(U) ! (V ) w mapach c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) jest r ó »niczkowalne, je»eli jest r ó »niczkowalne w ka»dym punkcie. Niech q 2 U i niech funkcja h 2C(N) separuje (q) w V . Odwzorowanie h mo»na przed“u»y¢ zerem do odwzorowania g“adkiego e na ca“ym N. Na mocy za“o»enia wsp ó “rzƒdne tego odwzorowania s¡ funkcjami g“adkimi, zatem e i e ’ 1 s¡ od- wzorowaniami g“adkimi. Poniewa» w otoczeniu ’(q) odwzorowanie e ’ 1 jest r ó wne ’ 1 , wiƒc to ostatnie jest r ó »niczkowalne (g“adkie) w ’(q). Warunek z denicji rozmaito–ci, »e M jest przestrzeni¡ Hausdora jest istotny. Nie wynika on z istnienia atlasu, co ilustruje poni»szy przyk“ad. Niech: R 2 B = f(x;y) 2R 2 : y = 0 lub y = 1g: Topologia na B jest topologi¡ z R 2 . W B wprowadzamy relacjƒ r ó wnowa»no–ci : (x 1 ;y 1 ) (x 2 ;y 2 ) , (x 1 = x 2 ) i ((y 1 = y 2 ) lub (x 1 > 0)): Wtedy B= nie jest Hausdora, bo ka»da para otocze« punkt ó w A = (0; 0) i B = (0; 1) ma niepuste przeciƒcie. W oczywisty spos ó b wprowadzamy na B lokalne uk“ady wsp ó “rzƒdnych. 2.1. Rozmaitosci parazwarte. Rozklad jednosci. W–r ó d rozmaito–ci r ó »niczkowych szczeg ó ln¡ rolƒ odgrywaj¡ rozmaito–ci parazwarte. Do tego stopnia, »e na og ó “ »¡danie parazwarto–ci jest elementem denicji. Przypomnijmy, »e przestrze« jest parazwarta, je»eli w ka»de pokrycie (zbiorami otwar- tymi) mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone. Zauwa»my teraz, »e je»eli dana jest funkcja g“adka h: M !R oraz zbi ó r otwarty U M, to zbi ó r punkt ó w kt ó re funkcja h separuje w U jest otwarty. Stwierdzenie 2. Niech M bƒdzie rozmaito–ci¡ parazwart¡. Dla ka»dego pokrycia zbiorami otwartymi (U ) 2A istniej¡ wpisane we« pokrycie (O ) 2I oraz rodzina nieujemnych funkcji (h i ) 2I takie, »e a) (O ) 2A jest pokryciem lokalnie sko«czonym, b) (V ) 2I jest pokryciem M, gdzie V jest niepustym zbiorem punkt ó w separowanych w O przez h . 4 Stwierdzenie to pozostawimy bez (niezbyt skomplikowanego) dowodu. Wynika z niego podstawowe dla zastosowa« twierdzenie o istnieniu rozk“adu jedno–ci. Definicja 5. Rozk“adem jedno–ci na M nazywamy rodzinƒ funkcji (f ) tak¡, »e a) dla ka»dego punktu q 2 M istnieje otoczenie U takie, »e tylko sko«czona liczba funkcji z tej rodziny jest r ó »na od zera na U, b) funcje f s¡ nieujemne, c) P f (q) = 1 dla ka»dego q 2 M. W“asno–¢ a) nazywa siƒ lokaln¡ sko«czono–ci¡ rodziny Twierdzenie 3. Dla ka»dego pokrycia (U ) 2A rozmaito–ci parazwartej M istnieje roz- k“ad jedno–ci (f ) 2I taki, »e dla ka»dego istnieje ( ) 2 A, »e supp f U ( ) . Dowod: Ze Stwierdzenia 2 wynika istnienie lokalnie sko«czonej rodziny nieujemnych funk- cji (h i ) 2I takiej, »e dla kazdego istnieje 2 A takie, »e supp h i U oraz »e dla ka»dego q 2 M istnieje funkcja h z tej rodziny dla kt ó rej h (q) = 1. Wynika st¡d, »e h = P h ma sens i jest dodatni¡ funkcj¡ r ó »niczkowaln¡. Teraz wystarczy po“o»y¢ f = h h . Š atwo zauwa»y¢, »e z istnienia rozk“adu jedno–ci wpisanego w dowolne otoczenie wynika parazwarto–¢. Zatem dla rozmaito–ci parazwarto–¢ jest r ó wnowa»na istnieniu (dla ka»dego pokrycia) r ó »niczkowalnego rozk“adu jedno–ci. 2.2. Rozpoznawanie parazwarto–ci. Z faktu, »e lokalnie M jest dieomorczne oto- czeniu otwartemu w R m wynika, »e M jest przestrzeni¡ lokalnie zwart¡, tzn. ka»dy punkt posiada zwarte otoczenie. Ta w“asno–¢ pozwala “atwiej rozpoznawa¢ rozmaito–ci parazwarte. Twierdzenie 4. Lokalnie zwarta przestrze« M jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest sum¡ M = S 1 i=1 K i przeliczalnej rodziny zbior ó w zwartych. Definicja 6. M ó wimy, »e pewna rodzina (O ) 2 zbior ó w otwartych tworzy bazƒ topologii, gdy dowolny zbi ó r otwarty jest sum¡ zbior ó w nale»¡cych do tej rodziny. Przyk“ad 1. Na przyk“ad w R n istnieje przeliczalna baza topologii. Jako zbiory bazowe bierzemy kule o –rodku w punkcie o wsp ó “rzƒdnych wymiernych i o promieniu wymiernym. Twierdzenie 5. Dla rozmaito–ci M nastƒpuj¡ce warunki s¡ r ó wnowa»ne (1) M jest parazwarta, (2) M posiada przeliczaln¡ bazƒ topologii, (3) M jest o–rodkowa, tzn. posiada przeliczalny zbi ó r gƒsty, (4) M jest sum¡ przeliczalnej rodziny zbior ó w zwartych. Przyklad spojnej rozmaitosci nieparazwartej. Zdeniujmy p ó “przestrzenie w R 2 : R 2 + = f(x;y) 2R 2 : y > 0g; R 2 = f(x;y) 2R 2 : y60g oraz rodzinƒ odwzorowa« f a :R 2 + !R 2 + : (x;y) 7! (a + yx;y): (12) W zbiorze R 2 R wprowadzamy relacjƒ r ó wnowa»no–ci: a = a 0 ; (x;y) = (x 0 ;y 0 ); dla (x;y) 2R 2 f a (x;y) = f a 0 (x 0 ;y 0 ); (x;y;a) (x 0 ;y 0 ;a 0 ) : (13) dla (x;y) 2R 2 + 5 |
Menu
|