|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
A.Strasburger—KonspektWykładu7„AFiW”
52 Wykład VII (27XI2006) Metryki, przestrzenie metryczne A.Strasburger—KonspektWykładu7„AFiW” 53 Pojęcie przestrzeni metrycznej. Definicja 24 Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Funkcję d : X × X → R nazywamy metryką na zbiorze X , gdy dla dowolnych x, y, z ∈ X spełnione są następujące warunki: a) d ( x, x )=0; d ( x, y ) > 0, jeśli x = y ; (określoność) b) d ( x, y )= d ( y,x ); (symetria) c) d ( x, z ) d ( x, y )+ d ( y, z ), (nierówność trójkąta) . Zbiór X zaopatrzony w określoną na nim metrykę d : X × X → R nazywamy przestrzenią metryczną, a liczbę d ( x, y ) — odległością między punktami x i y przestrzeni X . Wyrażając się bardziej formalnie, przestrzenią metryczną nazywa się parę ( X, d ), złożoną ze zbioru X i określonej na nim metryki d . Przestrzeń euklidesowa n wymiarowa R n Podstawowym przykładem, z którego wywodzą się nasze intuicje dotyczące odległości i skąd zaczerpnięta jest większość inspiracji kluczowych dla powstania i rozwoju teorii przestrzeni metrycznych są znane z matematyki szkolnej przestrzenie geometrii euklidesowej — płaszczyzna euklidesowa i (trójwymiarowa) przestrzeń euklidesowa. Przez wprowadzenie współrzędnych prostokątnych można je utożsamiać z przestrzeniemi kartezjańskimi R 2 i R 3 , odpowiednio. Wspólnym modelem dla tych przestrzeni jest n wymiarowa przestrzeń kartezjańska R n wyposażona w metrykę euklidesową określoną wzorem (9) (zob. Wykład 1) X 1 / 2 d ( x, y )= | x − y | = ( x j − y j ) 2 , x, y ∈ R n . j =1 n A.Strasburger—KonspektWykładu7„AFiW” 54 Najprostszym przypadkiem tej konstrukcji jest (przy n =1) przestrzeń nazywana osią liczbową — jest nią zbiór liczb rzeczywistych R wyposażony w naturalną metrykę (modułową) daną wzorem d ( x, y )= | x − y | dla x, y ∈ R . Czytelnikowi pozostawiamy sprawdzenie wypełnienia aksjomatów metryki — są one łatwą konsekwencją sformułowanych w Twierdzeniu 2 własności normy pitagorejskiej. A.Strasburger—KonspektWykładu7„AFiW” 55 Przykłady: Kilka prostych przestrzeni metrycznych. a) Niech X będziedowolnymniepustymzbiorem.Dla x, y ∈ X przyjmiemy ( 1 , gdy x = y, d ( x, y )= . 0 , gdy x = y Otym,żetakokreślonafunkcjaspełniaaksjomatymetryki, łatwoprzekonaćsięsamemu.Tęmetrykęnazywasię metryką dyskretną ,aodpowiadającąjejprzestrzeńmetryczną( X, d ) — przestrzeniąmetryczną dyskretną .Możnapowiedzieć,że jedynymzadaniemmetrykidyskretnejjestodróżnianieod siebiepunktówprzestrzeni. b) Dla x, y ∈ R n określmy d ( x, y )= ( | x | + | y | , gdy x = y, . 0 , gdy x = y Czytelnikmożesprawdzićsamemu,żespełnionesąwszystkie warunkiwymaganeodmetryki—takżeitametrykaniejest indukowanaprzezżadnąnormęw R n .( Możnapowiedzieć,że tametrykailustrujepowiedzenie,że„wszystkiedrogiwiodą przezRzym”(wtymprzypadku Rzymjestumieszczony w środkuukładu współrzędnych),lubteżmożna jąporównaćz sytuacjąprzejściazjednejgórskiejdolinydodrugiejprzez przełęczwłańcuchu górskimrozdzielającymtedoliny. ) d) Niech( X, d )będzieprzestrzeniąmetryczną.Czytelnik A.Strasburger—KonspektWykładu7„AFiW” 56 możesięłatwoprzekonać,żewzór 1+ d ( x, y ) , dla x, y ∈ X, określaw V metrykę.Tametrykamaużytecznąwłasność ograniczoności: d ( x, y ) < 1dlawszystkich x, y ∈ X ,ale istotnewłasnościprzestrzenimetrycznych( X, d )i( X, )są takiesame. Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych — obcięcie metryki Jeśli ( X, d ) jest przestrzenią metryczną, to dowolnemu niepustemu podzbiorowi Y ⊂ X można nadać status samoistnej przestrzeni metrycznej przyjmując jako metrykę w Y obcięcie metryki d do zbioru Y × Y . O tym, że takie obcięcie spełnia wymagane od metryki warunki, nie trzeba zbytnio przekonywać, wystarczy bowiem popatrzyć na nie przez chwilę. Metrykę otrzymaną w ten sposób nazywamy metryką indukowaną przez d w zbiorze Y , a przestrzeń ( Y, d ) nazywamy podprzestrzenią przestrzeni metrycznej ( X, d ). W razie (niezbyt częstej) potrzeby będziemy oznaczać metrykę w Y indukowaną przez d symbolem d Y . Uprzedźmy od razu, że własności tych dwóch przestrzeni metrycznych mogą okazać się istotnie różne, o czym będziemy mieli okazję w dalszym ciągu niejednokrotnie się przekonać. ( x, y )= d ( x, y ) |
Menu
|