|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
GRUPY.TEX
March 5, 2013 TEORIA GRUP II 1. Algebry, ró»niczkowania w algebrach. Algebr¡ nazywamy przestrze« wektorow¡ A z działaniem mno»enia, które jest odwzorowa- niem biliniowym. W szczególno±ci, mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Algebra (A,·) jest ł¡czna, je»eli mno»enie jest ł¡czne. Algebra (A,·) jest algebr¡ Leibniza, je»eli mno»enie spełnia to»samo±¢ Jacobiego a· (a 0 ·a 00 ) = (a·a 0 ) ·a 00 + a 0 · (a·a 00 ). Je»eli ponadto mno»enie jest antyprzemienne, a·a 0 = −a 0 ·a, to algebra jest algebr¡ Liego. Przykłady 1. (1) Funkcje na dowolnej przestrzeni tworz¡ algebr¦ ł¡czn¡ i przemienn¡ ze wzgl¦du na mno»enie. Na przestrzeni topologicznej jej podalgebr¡ s¡ funkcje ci¡głe, na rozmaito- ±ci ró»niczkowej funkcje gładkie, a na przestrzeni wektorowej funkcje wielomianowe. (2) Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡. Zbiór endomorfizmów V , End(V ), jest prze- strzeni¡ wektorow¡, a ze wzgl¦du na składanie odwzorowa« algebr¡ ł¡czn¡, nieprze- mienn¡. (3) Endomorfizmy przestrzeni wektorowej R n uto»samiane s¡ z macierzami kwadrato- wymi n×n. Składaniu odwzorowa« liniowych odpowiada mno»enie macierzy, wi¦c przestrze« macierzy M(n) z działaniem mno»enia jest nieprzemienn¡ algebr¡ ł¡czn¡. (4) W algebrze ł¡cznej (A,·) wprowadzamy działanie [ , ]: [a,b] = a·b−b·a. Dostajemy now¡ struktur¦ algebry. Oczywi±cie, [a,b] = −[b,a]. Ponadto, korzystaj¡c z ł¡czno±ci, [a, [b,c]] = a· (b·c−c·b) − (b·c−c·b) ·a = (a·b−b·a) ·c−c· (a·b−b·a) + b· (a·c−c·a) − (a·c−c·a) ·b = [[a,b],c] + [b, [a,c]], czyli (A, [ , ]) jest algebr¡ Liego. W szczególno±ci, komutator daje struktur¦ algebry Liego w End(V ) i w M(n). Mamy wi¦c w A dwie struktury algebry: ł¡cznej i Liego. (5) Przestrze« X(M) pól wektorowych jest algebr¡ Liego ze wzgl¦du na komutator [ , ] pól wektorowych. (6) Podprzestrze«o(n) macierzy spełniaj¡cych warunek a T = −a tworz¡ podalgebr¦ algebry (M(n), [ , ]): [a,b] T = (ab−ba) T = b T a T −a T b T = ba−ab = −[a,b]. W szczególno±ci, dla n = 3, mamy 2 4 3 5 2 4 3 5 − 2 4 3 5 2 4 3 5 = 2 4 3 5 , 0 −z 0 y 0 z 0 0 −x 0 −y 0 x 0 0 −z 0 y 0 z 0 0 −x 0 −y 0 x 0 −xy 0 + x 0 y zx 0 −z 0 x 0 0 −z y z 0 −x −y x 0 0 −z y z 0 x −y x 0 xy 0 −x 0 y −yz 0 + y 0 z 0 −zx 0 + z 0 x yz 0 −y 0 z 0 0 0 czylio(3) mo»na uto»sami¢ z z algebr¡ (R 3 ,×) z iloczynem wektorowym wzgl¦dem orientacji kanonicznej. 1 Definicja 1. Odwzorowanie liniowe D: A ! A nazywamy ró»niczkowaniem w algebrze, je»eli dla ka»dej pary a,a 0 2 A mamy D(a·a 0 ) = a·D(a 0 ) + D(a) ·a 0 . Przykłady 2. (1) To»samo±¢ Jacobiego w definicji algebry Liego oznacza, »e mno»enie jest ró»niczko- waniem wzgl¦dem siebie. (2) Pole wektorowe na rozmaito±ci jest ró»niczkowaniem w algebrze funkcji gładkich. (3) Niech b¦dzie algebr¡ ł¡czn¡. Dla ka»dego f 2 odwzorowanie D f : ! : g 7! f ·g−g·f = [f,g] jest ró»niczkowaniem w : D f (g·g 0 ) = f·(g·g 0 )−(g·g 0 )·f = (f·g−g·f)·g 0 +g·(f·g 0 −g 0 ·f) = D f (g)·g 0 +g·D f (g 0 ). Ró»niczkowanie takie nazywamy ró»niczkowaniem wewn¦trznym. Widzimy wi¦c, »e komutator w algebrze ł¡cznej jest ró»niczkowaniem zarówno w algebrze ł¡cznej jak i algebrze Liego (z komutatorem jako działaniem). Oznaczmy przez Der() zbiór ró»niczkowa« w algebrze ł¡cznej . Oczywistym jest, »e tworz¡ one przestrze« wektorow¡ oraz »e zło»enie dwóch ró»niczkowa« nie jest ró»niczko- waniem. Stwierdzenie 1. Niech a,b 2 Der(). Wówczas ich komutator ab−ba te» jest ró»niczko- waniem w . Dowod: (ab−ba)(f ·g) = a(b(f) ·g + f ·b(g)) −b(a(f) ·g + f ·a(g)) = ab(f) ·g + fab(g) −ba(f) ·g−f ·ba(g) = (ab−ba)(f) ·g + f · (ab−ba)(g) Stwierdzenie 2. (Der(), [ , ]), gdzie [a,b] = ab−ba, jest algebr¡ Liego. Dowod: [a,b] = −[b,a], wi¦c mno»enie jest antyprzemienne. Pokazujemy, »e spełniona jest to»samo±¢ Jacobiego: [a, [b,c]] = [a,bc−cb] = abc−acb−bca + cba = abc−bac−cab + cba + bac−bca−acb + cab = [[a,b],c] + [b, [a,c]]. Łatwo sprawdzi¢, »e [D f ,D g ] = D [f,g] , czyli ró»niczkowania wewn¦trzne tworz¡ podalgebr¦ algebry (Der(), [ , ]) i naturalne od- wzorowanie 3 f 7! D f 2 Der() jest homomorfizmem algebr Liego. Przykładem powy»szej konstrukcji jest algebra Liego pól wektorowych na rozmaito±ci M. Jako algebr¦ bierzemy algebr¦ funkcji gładkich na M. Pole wektorowe na M jest ró»niczkowaniem w algebrze . 2 1.1. Ró»niczkowania mi¦dzy algebrami. Niech b¦d¡ dane dwie algebry i 0 , oraz homomorfizm algebr F: ! 0 , to znaczy jest to odwzorowanie liniowe zachowuj¡ce mno- »enie: F(ab) = F(a)F(b). Liniowe odwzorowanie D: ! 0 nazywamy F-ró»niczkowaniem, je»eli D(ab) = D(a)F(b) + F(a)D(b). Przykład: wektor v styczny do rozmaito±ci M w punkcie q jest ró»niczkowaniem z algebry funkcji gładkich w algebr¦ liczb, wzgl¦dem homomorfizmu f 7! f(q). Stwierdzenie 3. Zło»enie ró»niczkowania z homomorfizmem algebr jest ró»niczkowaniem wzgl¦dem tego homomorfizmu. Dowod: Proste przeliczenie. 2. Przestrze« dualna do algebry Liego. Niech (A, [ , ]) b¦dzie algebr¡ Liego wymiaru sko«czonego. Mamy kanoniczny izomorfizm mi¦dzy przestrzeni¡ wektorow¡ A i przestrzeni¡ funkcji liniowych na A (przestrze« dualna). Niech a ! a b¦dzie t¡ odpowiednio±ci¡. Zdefiniujmy nawias na funkcjach liniowych na A {a,b} = [a,b] (1) Spełnia on to»samo±¢ Jacobiego, bo [ , ] j¡ spełnia i jest antyprzemienny. Zakładaj¡c speł- nienie reguły Leibniza {f,gh} = g{f,h}+{f,g}h (nawias jest ró»niczkowaniem w algebrze ł¡cznej funkcji na A ) mo»emy zdefiniowa¢ nawias na wszystkich funkcjach wielomiano- wych, a przez ci¡głos¢ niemal jednostajn¡ na wszystkich funkcjach na A . Nawias ten jest struktur¡ Poissona na A . I na odwrót, maj¡c liniowy nawias Poissona na A (nawias funkcji liniowych jest funkcj¡ liniow¡), mo»emy przez relacje (1) wprowadzi¢ w A struktur¦ algebry Liego. Mamy zatem wzajemnie jednoznaczn¡ odpowiednio±¢ mi¦dzy strukturami algebry Liego w przestrzeni wektorowej A i liniowymi nawiasami Poissona na przestrzeni dualnej A . Kilka uwag o strukturze Poissona na rozmaito±ci M. Mo»na j¡ zadawa¢ przez struktur¡ algebry Liego (nawias Liego) na funkcjach lub, równowa»nie, przez odzorowanie wi¡zek wektorowych : T M ! TM (warunek to»samo±ci Jacobiego jest tu trudniejszy do wypo- wiedzenia). Nawias na funkcjach zadany jest wzorem {f,g} = hdg, dfi. W ka»dy punkcie rozmaito±ci M mamy podprzestrze« przestrzeni stycznej - obraz odwzoro- wania . To»samo±¢ Jacobiego oznacza, »e podprzestrzenie te s¡ styczne do podrozmaito±ci w M. Podrozmaito±ci te zadaj¡ foliacj¦ M. Li±cie tej foliacji nazywane s¡ li±¢mi symplek- tycznymi struktury Poissona. Przykład 3. Rozpatrujemy algebr¦ Liego (R 3 ,×). Przestrze« dualn¡ do R 3 uto»samiamy z R 3 . W tym uto»samieniu dostajemy dla funkcji współrz¦dniowych {x,y} = z, {y,z} = x, {z,x} = y. Aby zna¢ wektor styczny do rozmaito±ci, wystarczy wiedzie¢ jak działa na funcje współ- rz¦dniowe, wi¦c, by za¢ (dx), wystarczy wiedzie¢, czemu s¡ równe hdx, (d)i, hdx, (d)i i hdx, (d)i. Ale hdx, (d)i = {x,x} = 0, hdy, (d)i = {x,y} = z i hdz, (d)i = {x,z} = −y i st¡d (dx) = z @ @y −y @ @z . Podobnie obliczamy (dy), (dz): 3 (x,y,z) (dy) = −z @ @x + x @ @z , (x,y,z) (dz) = −x @ @y + y @ @x . Zatem im (x,y,z) = {( x, y, z): xx + yy + zz = 0}, czyli jest to przestrze« styczna do sfery o ±rodku w zerze. Li±¢mi symplektycznymi dla tej struktury Poissona s¡ sfery o ±rodku w zerze. W powy»szych rozwa»aniach zakładali±my wymiar sko«czony algebry. Przyjrzyjmy sie przykładowi podstawowemu algebry Liego wymiaru niesko«czonego - algebrze pól wektoro- wych na rozmaito±ci M. Istotne jest, by elementy z algebry Liego móc uto»sami¢ z funkcjami. Pole wektorowe na M mo»na uto»sami¢ z funkcj¡ na T M, liniow¡ na włóknach. Nawias pól wektorowych indukuje wi¦c nawias na funkcjach liniowych na T M. Nie wystarcza to zdefniowania nawiasu Poissona dla wszystkich funkcji. Trzeba jeszcze wiedzie¢, jaki jest na- wias funkcji stałych na włóknach mi¦dzy sob¡ i z funkcjami liniowymi. Nawiasy te wynikaj¡ z własno±ci nawiasu Liego pól wektorowych wzgl¦dem mno»enia pól przez funkcje. Mamy [X,fY ] = f[X,Y ] + X(f)Y , czyli { X,f Y} = f{ X, Y} + X(f) Y , i st¡d { X,f} = X(f). U»yli±my tu jednego oznaczenia dla funkcji na M i odpowiedniej funkcji, stałej na włók- nach, na T M. Równo±¢ {g X,f} = g{ X,f} + X{g,f}, implikuje {g,f} = 0, bo funkcja liniowa i stała na włóknach jest równa zero. W ten sposób dostajemy nawias na wszystkich funkcjach wielomianowych stopnia 1. St¡d, jak i dla algebry wymiaru sko«czonego, dosta- jemy nawias Poissona na T M. Jest to kanoniczny nawias Poissona na przestrzeni fazowej (wi¡zce kostycznej). 3. Działania grupy. Definicja 2. Lewym (prawym) działaniem grupy G na zbiorze X nazywamy odwzorowanie : G×X ! X spełniaj¡ce dwa warunki (1) (g, (h,x)) = (gh,x), ((g, (h,x)) = (hg,x)) (2) (e,x) = x. Inaczej mówi¡c, zadaje homomorfizm (antyhomomorfizm) grupy G w grup¦ bijekcji zbioru X. Maj¡c zadane lewe działanie , prawe działanie ¯ ¯ (g,x) = (g −1 ,x). Mo»emy wi¦c zawsze przej±¢ od działania lewego do prawego i z powrotem. Je»eli zbiór ma jak¡± struktur¦ (rózniczkow¡, algebraiczn¡), to na ogół »¡damy, by bijekcje zbioru X respektowały te struktury. Przykład 4. Niech X b¦dzie sam¡ grup¡, X = G. Lewe (prawe) działanie L (G) grupy G na sobie definiujemy przez dostajemy kład¡c L(g,h) = gh, L g (h) = L(g,h) R(g,h) = hg, R g (h) = R(g,h) Dla grupy Liego L g i R g s¡ dyfeomorfizmami, ale nie homomorfizmami grup. Dla ka»dego g 2 G automorfizmam grupy jest odzorowanie Ad g : G ! G: h 7! L g R g −1 h = ghg −1 = R g −1 L g h, Ad g (hh 0 ) = ghh 0 g −1 = ghg −1 gh 0 g −1 = Ad g (h) Ad g (h 0 ). Sprawdzamy, »e homomorfizmy Ad g definiuj¡ lewe działanie grupy na sobie: Ad gg 0 (h) = (gg 0 )h(gg 0 ) −1 = g(g 0 hg 0 −1 )g −1 = Ad g (Ad g 0 (h)). Ad nazywane jest działaniem doł¡czonym (reprezentacj¡ doł¡czon¡) grupy. Zauwa»my tu, »e Ad g (g) = ggg −1 = g i »e dla grupy abelowej Ad g = id G . 4 4. Grupy Liego. Grup¡ Liego nazywamy grup¦ b¦d¡c¡ rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡ z ró»niczkowalnym dzia- łaniem grupowym. Okazuje si¦, »e poci¡ga to za sob¡ analityczno±¢, czyli grupa Liego jest rozmaito±ci¡ analityczn¡ z analitycznym działaniem grupowym. W pi¡tym problemie Hil- berta postawione jest pytanie: czy grup¡ Liego jest grupa topologiczna (grupa jest przestrze- ni¡ topologiczn¡ z ci¡głym działaniem grupowym)? Ostateczn¡ odpowied¹ daje Twierdzenie Yamabe (1953): Lokalnie zwarta grupa topologiczna bez małych podgrup jest grup¡ Liego. Bez małych podgrup oznacza, »e istnieje otoczenie jedynki, które nie zawiera podgrupy. Tak wi¦c, w kontek±cie grup Liego, ci¡gło±¢ implikuje ró»niczkowalno±¢, a nawet analityczno±¢. 5. Pola lewo- i prawo-niezmiennicze. Definicja 3. Polem lewo-niezmienniczym na grupie Liego G nazywamy pole X spełniaj¡ce równo±¢ (L g ) X = X dla ka»dego g 2 G. Zast¦puj¡c L g przez R g dostajemy definicj¦ pola prawo-niezmiennicze. Oznacza to, »e je- »eli krzywa : t 7! (t) 2 G reprezentuje wektor X(h) pola lewo-niezmienniczego (prawo-niez- mienniczego), to krzywa g: t 7! g(t) (g: t 7! (t)g) reprezentuje wektor X(gh) (X(hg)). I dalej, je»eli : t 7! (t) 2 G jest krzyw¡ całkow¡ pola lewo-niezmienniczego (prawo-niez- mienniczego) X, to krzywa g (g) jest te» krzyw¡ całkow¡ tego pola. W szczególno±ci, wynika st¡d, »e je»eli (0) = e, to zarówno s 7! (s + t) jak i s 7! (t)(s) s¡ krzywymi całkowymi pola. Z jednoznaczno±ci dostajemy zatem (s + t) = (t)(s) = (t)(s), zarówno dla prawo- jak i lewo-niezmienniczych pól. Krzywa całkowa przechodz¡ca przez e jest homomorfizmem grup :R! G (jest jednoparametrow¡ podgrup¡ grupy G). Z definicji pola niezmienniczego wiemy, »e pole takie jest jednoznacznie wyznaczone przez swoj¡ warto±¢ w jedno±ci grupy. Dla ka»dego v 2 T e G mamy w punkcie g 2 G dwa wek- tory, nale»¡ce odpowiednio do lewo- i prawo-niezmienniczego pola. Jaka jest mi¦dzy nimi relacja? Niech b¦dzie krzyw¡ reprezentuj¡c¡ wektor v 2 T e G. Krzywa g reprezentuje wektor v X(g) odpowiedniego pola lewo-niezmienniczego, a krzywa g wektor X v (g) pola prawo-niezmienniczego. St¡d g(t) = Ad g ((t)g) oraz (t)g = Ad g −1 (g(t)) i st¡d v X(g) = T Ad g (X v (g)). Stwierdzenie 4. Odwzorowanie I G : G ! G: g 7! g −1 zadaje odpowiednio±¢ mi¦dzy po- lami lewo- i prawo-niezmienniczymi. Dowod: Niech b¦dzie jednoparametrow¡ podgrup¡ w G, wi¦c krzyw¡ całkow¡ pola lewo- i prawo-niezmienniczego, odpowiadaj¡c¡ wektorowi v 2 T e G. Krzywa t 7! g(t) jest krzyw¡ całkow¡ pola lewo- niezmienniczego. Mamy (g(t)) −1 = ((t)) −1 g −1 = (−t)g −1 , wi¦c I G jest krzyw¡ całkow¡ pola prawo-niezmienniczego, odpowiadaj¡cego wektorowi −v. Mamy wi¦c (I G ) v X = X −v . 6. Algebra Liego grupy Liego. Stwierdzenie 5. Dla ka»dego dyfeomorfizmu : M ! N mamy ([X,Y ]) = [ X, Y ] Dowod: Niech f 2 C 1 (N). Dla dowolnego pola wektorowego X Mamy ( X(f)) = X(f ) (2) 5 |
Menu
|