w 18b równania różniczkowe 1 stopnia, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

ROWN AN I A ROZN I CZKOWE P I E RWSZE GO RZE¸DU
D E FIN ICJA . R ´o wn a n ie p o s t a c i
′
y
= f( x;y) ;
( ∗)
g d z ie f je s t fu n kc j¸a c i¸a g l¸a w p e wn ym o b s z a r z e D ⊂ R
2
, a y
′
o z n a c z a p o c h o d n ¸a y
wz g l¸e d e m x, n a z ywa m y rownaniem rozniczkowym pierwszego rzedu.
R ozwiazaniem (calka) r ´o wn a n ia ( ∗) n a z ywa m y ka z d ¸a fu n kc j¸e y z m ie n n e j x r ´o z n ic z
ko wa ln ¸a w p e wn ym
p r z e d z ia le I t a k¸a , z e
( x; y( x) )
∈ D d la ka z d e g o x ∈ I o r a z
′
y
( x) = f[x; y( x) ]
d la ka z d e g o x ∈ I.
TW IE R D ZE N IE ( P e a n o ) .
Je z e li fu n kc ja f( x; y) je s t c i¸a g la w o b s z a r z e D, t o d la d o wo ln e g o p u n kt u ( x
0
; y
0
) ∈ D
is t n ie je ( p r z yn a jm n ie j je d n o ) r o z wi¸a z a n ie r ´o wn a n ia ( ∗) s p e ln ia j¸a c e warunek poczatkowy
y( x
0
) = y
0
.
U W A GA .
Je z e li p o n a d t o fu n kc ja f
′
y
( x;y) je s t c i¸a g la , t o r o z wi¸a z a n ie t a kie je s t d o kla d n ie je d n o .
´
OW
R
´
OW
ME TOD Y R OZW
IA¸ ZY W A N IA P OD S TA W
OW
Y CH TY P
N A
N
T YP 1: r ownanie o zmiennych r ozdzielonych. Je s t t o r ´o wn a n ie p o s t a c i:
g( y) y
′
= f( x) ;
( 1 )
g d z ie fu n kc je f o r a z g s ¸a c i¸a g le w p e wn yc h p r z e d z ia la c h .
ME TOD A R OZW
IA¸ ZA N IA . R o z wi¸a z a n ia u z ys ku je m y z r ´o wn a n ia r ´o wn o wa z n e g o
Z
Z
( 1
′
)
g( y) dy =
f( x) dx:
R
R
U ZA S A D N IE N IE . N ie c h F( x) =
g( y) dy. Oz n a c z a t o , z e
F
′
( x) = f( x) o r a z G
′
( y) = g( y) ( o s t a t n ia p o c h o d n a je s t lic z o n a wz g l¸e d e m y) .
Za l´o z m y, z e fu n kc ja y = y( x) je s t r o z wi¸a z a n ie m
f( x) dx o r a z G( y) =
r ´o wn a n ia ( 1
′
) . Oz n a c z a t o , z e
G[y( x) ] = F( x) :
R ´o z n ic z ku j¸a c t o r ´o wn a n ie o b u s t r o n n ie ( o b lic z a j¸a c p o c h o d n ¸a wz g l¸e d e m x) i s t o s u j¸a c
z le we j s t r o n y t wie r d z e n ie o p o c h o d n e j fu n kc ji z lo z o n e j o t r z ym a m y:
′
′
′
G
[y( x) ]y
( x) = F
( x) ;
c z yli
g[y( x) ]y
′
( x) = f( x) :
Oz n a c z a t o , z e fu n kc ja y = y( x) je s t r o z wi¸a z a n ie m
r ´o wn a n ia ( 1 ) . P o d o b n ie , ka z d e
r o z wi¸a z a n ie r ´o wn a n ia ( 1 ) je s t t e ˙z r o z wi¸a z a n ie m
( 1
′
) .
ZA P IS . Zwykle ” p r z e j´s c ie ” z r ´o wn a n ia ( 1 ) d o r ´o wn a n ia r ´o wn o wa z n e g o ( 1
′
) z a p is u je
s i¸e n a s t ¸e p u j¸a c o :
g( y) y
′
= f( x)
g( y)
dy
dx
= f( x)
g( y) dy = f( x) dx
Z
Z
g( y) dy =
f( x) dx:
P R ZY K L A D . R o z wi¸a z a ´c r ´o wn a n ie y
′
= e
−y
x
2
.
y
′
= e
−y
x
2
e
y
y
′
= x
2
e
y
dy
dx
= x
2
e
y
dy = x
2
dx
R
R
x
2
dx
e
y
=
3
x
3
+ C
y = ln
e
y
dy =
1
3
x
3
+ C
T YP 2: r ownanie postaci
y
x
y
′
= f
;
( 2 )
g d z ie fu n kc ja f je s t c i¸a g la w p e wn ym
p r z e d z ia le .
ME TOD A R OZW IA¸ ZA N IA .
P o d s t a wia m y z =
x
o t r z ym u j¸a c r ´o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
U ZA S A D N IE N IE . P o d s t a wia m y z =
x
, z a t e m
y = zx:
Zr ´o z n ic z ku jm y o s t a t n ie r ´o wn a n ie . Oc z ywi´s c ie , y = y( x)
o r a z z = z( x)
s ¸a fu n k
c ja m i z m ie n n e j x ( a n ie s t a lym i) , wi¸e c o t r z ym a m y, z g o d n ie z e wz o r e m
n a p o c h o d n ¸
ilo c z yn u ,
y
′
= z
′
x + zx
′
= z
′
x + z:
P o p o d s t a wie n iu d o ( 2 ) u z ys ka m y
′
z
x + z = f( z) ;
c z yli z
′
x = f( z)
− z; c z yli
f( z) − z
z
′
=
1
x
;
d la f( z)
= z. Je s t t o r ´o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
q
P R ZY K L A D . R o z wi¸a z a ´c r ´o wn a n ie y
′
=
x
+
x
y
:
P o d s t a wia m y z =
x
; y
′
′
= z
x + z o t r z ym u j¸a c r ´o wn a n ie :
q
R
R
z
2
dz =
z
′
x + z = z +
1
z
1
x
dx
3
z
2
= ln
dz
1
2
dx
x =
|x| + C
√
z
√
3
2
=
2
( ln
zdz =
x
dx
y
x
|x| + C)
T YP 3: r ownanie postaci
y
′
= f( ax + by + c) ;
( 3 )
g d z ie fu n kc ja f je s t c i¸a g la w p e wn ym
p r z e d z ia le , n a t o m ia s t a; b;c t o s t a le .
ME TOD A R OZW IA¸ ZA N IA .
P o d s t a wia m y u = ax + by + c o t r z ym u j¸a c r ´o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
U ZA S A D N IE N IE . P o d s t a wia m y u = ax + by + c, z a t e m
u
′
′
= a + by
s t a wia j¸a c y
′
z ( 3 ) o t r z ym a m y
( t u t a j y o r a z u t o fu n kc je z m ie n n e j x) . W
′
= a + bf( u) :
Je s t t o r ´o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
u
T YP 4: r ownanie liniowe. Je s t t o r ´o wn a n ie p o s t a c i:
y
′
+ p( x) y = g( x) ;
( 4 )
g d z ie fu n kc je p o r a z g s ¸a c i¸a g le w p e wn ym
p r z e d z ia le I.
ME TOD A R OZW
IA¸ ZA N IA . R o z wi¸a z a n ie u z ys ku je m y z e wz o r u
Z
R
R
−
p(x)dx
p(x)dx
dx + C
( 4
′
)
y = e
g( x)
e
( c a lki t u wys t ¸e p u j¸a c e lic z ym y b e z s t a lyc h ) .
U ZA S A D N IE N IE .
N ie c h
R
p( x) dx ( o c z ywi´s c ie , P
′
( x) = p( x) ) . S p r a wd z im y ( p o d s t a wia j¸a c )
ja ka m u s i b y´c fu n kc ja C( x) , b y
P( x) =
−P(x)
y = C( x) e
( 4
′′
)
b yl r o z wi¸a z a n ie m
r ´o wn a n ia ( 4 ) . Ot r z ym a m y
′
−P(x)
−P(x)
= g( x)
C( x) e
+ p( x) C( x) e
′
−P(x)
+ C( x) e
−P(x)
[−p( x) ] + p( x) C( x) e
−P(x)
= g( x)
C
( x) e
−P(x)
= g( x)
C
′
( x) = g( x) e
P(x)
′
C
( x) e
Z
g( x) e
P(x)
dx + C
C( x) =
R
P o d s t a wia jc a c d o ( 4
′′
) u z ys ka m y r o z wi¸a z a n ie y = [
g( x) e
P(x)
dx + C]e
−P(x)
, a wi¸e c
r o z wi¸a z a n ie o p is a n e wz o r e m
( 4
′
) .
T YP 5: r ownanie B er noulli’ego. Je s t t o r ´o wn a n ie p o s t a c i:
y
′
+ p( x) y = g( x) y
n
;
( 5 )
g d z ie fu n kc je p o r a z g s ¸a c i¸a g le w p e wn ym
p r z e d z ia le I o r a z n je s t lic z b ¸a r z e c z ywis t ¸a .
Za kla d a m y t a kz e , z e
n = 0
o r a z
n = 1
( w p r z e c iwn ym
r a z ie m a m y r ´o wn a n ie
lin io we ) .
ME TOD A R OZW IA¸ ZA N IA .
P o d s t a wia m y z = y
1−n
o t r z ym u j¸a c r ´o wn a n ie lin io we .
U ZA S A D N IE N IE .
P o d s t a wia m y z = y
1−n
( y o r a z z t o fu n kc je z m ie n n e j x) . Za t e m
z
′
= ( 1
− n) y
−n
y
′
,
c z yli y
′
=
z
′
y
n
z = yy
−n
o t r z ym a m y y = zy
n
. P o d s t a wia j¸a c
1−n
. P o n a d t o z wa r u n ku
d o ( 5 ) o t r z ym a m y
z
′
y
n
− n
+ p( x) zy
n
= g( x) y
n
;
c z yli
′
z
+ ( 1
− n) p( x) z = ( 1
− n) g( x) :
Je s t t o r ´o wn a n ie lin io we .
T YP 6: r ownanie zupelne. Je s t t o r ´o wn a n ie p o s t a c i:
P( x;y) + Q( x; y) y
′
= 0 ;
( 6 )
g d z ie fu n kc je P; Q; P
′
x
; P
′
y
; Q
′
x
; Q
′
s ¸a c i¸a g le w p e wn ym
o b s z a r z e je d n o s p ´o jn ym
y
D ⊂ R
2
o r a z
′
′
( 6
′
)
P
y
( x;y) = Q
x
( x; y)
d la ka z e g o
( x;y)
∈ D.
ME TOD A R OZW IA¸ ZA N IA .
Ja k wia d o m o z wykla d u o c a lka c h kr z ywo lin io wyc h z o r ie n t o wa n yc h , wa r u n e k ( 6
′
)
g wa r a n t u je is t n ie n ie t a kie j fu n kc ji F( x; y) , z e F
′
o r a z F
′
y
( x;y) =
Q( x; y) ( z wykle fu n kc j¸e F( x; y) o z n a c z a li´s m y U( x; y) ) . R o z wi¸a z a n ia r ´o wn a n ia ( 6 )
s ¸a o p is a n e wz o r e m
x
( x; y) = P( x;y)
( 6
′′
)
F( x; y) = C
( lu b F( x; y) = 0 , je z e li s t a l¸a u wz g l¸e d n ia li´s m y w F( x;y) ) .
U ZA S A D N IE N IE .
R ´o wn a n ie ( 6 ) m o z e m y z a p is a ´c w we r s ji ” r ´o z n ic z ko we j” ( y
′
=
dy
dx
)
P( x; y) dx + Q( x; y) dy = 0 :
Za t e m
F
′
x
( x; y) dx + F
′
y
( x; y) dy = 0 ;
c z yli r ´o z n ic z ka
dF( x; y) = 0 :
Oz n a c z a t o , z e
F( x; y) = C:

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl