w 08 całkowanie funkcji wymiernych, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKOWAN I E FUN KCJI WYM I E RN YCH
D E FIN ICJA .
F unkcja wymierna t o ilo r a z d w´o c h wie lo m ia n ´o w.
Ulamek prosty t o fu n kc ja wym ie r n a p o s t a c i
m
rx+s
(kx+l)
n
lu b
(ax
2
+bx+c)
n
,
= b
2
− 4 ac < 0 .
g d z ie a,b, c, m,k, l, r, s ∈ R, n ∈ N, k = 0 , ∆
ME TOD A CA L K OW A N IA .
1. U la m e k p r o s t y
m
(kx+l)
n
c a lku je m y p o d s t a wia j¸a c z a kx + l n o w¸a z m ie n n ¸a .
P R ZY K L A D
1 .
R
R
2x+7=t
2dx=dt dx=
2
dt
1
1
t
2
dt =
2
ln
|t| + C =
2
ln
2x+7
dx =
=
|2 x + 7 | + C
P R ZY K L A D
2 .
R
R
R
2x+7=t
2dx=dt dx=
2
dt
1
=
2
t
3
dt =
2
1
−3
dt =
2
−2
t
−1
−2
+C =
(2x+7)
3
dx =
t
4(2x+7)
2
+C
2. Tr ´o jm ia n kwa d r a t o wy m o z n a z a p is a ´c w p o s t a c i ka n o n ic z n e j:
ax
2
+ bx + c = a( x − p)
2
+ q, g d z ie p =
−
b
−∆
2a
, q =
4a
.
p
q
rx+s
U la m e k p r o s t y
(ax
2
+bx+c)
n
c a lku je m y p o d s t a wia j¸a c x − p =
a
t. U z ys ka n e p o
R
t
p o d s t a wie n iu c a lki o b lic z a m y n a s t ¸e p u j¸a c o : w c a lc e
(t
2
+1)
n
dt p o d s t a wia m y z a
R
1
t
2
+ 1
n o w¸a z m ie n n ¸a , c a lka
I
n
=
(t
2
+1)
n
dt d la
n = 1
je s t r ´o wn a a r c t g x,
n a t o m ia s t d la n > 1
o b lic z a m y j¸a s t o s u j¸a c wz ´o r r e ku r e n c yjn y.
P R ZY K L A D .
R
√
R
R
9
4
t
t=
3
(x+1)
x+1=
3
2
t−1
x
x
4x
2
+8x+13
dx =
4(x+1)
2
+9
dx =
=
9t
2
+9
dt
x+1=
2
t
dx=
2
dt
R
R
R
R
=
2
9
t
2
+1
dt −
9
t
t
2
+1
dt =
2
1
9
2
t
2
+1
dt −
9
2t
1
t
2
+1
dt
1
|t
2
+ 1 | −
9
a r c t g t + C =
1
4
9
( x + 1 )
2
+ 1
−
9
a r c t g
2
=
12
ln
12
ln
3
( x + 1 ) + C
t
Oczywiscie calkujac
t
2
+1
zamiast ”dopasowujac” by licznik byl pochodna mianownika
mozna podstawic za t
2
+ 1 nowa zmienna.
ME TOD A CA L K OW A N IA FU N K CJI W
Y MIE R N Y CH .
L(x)
Fu n kc j¸e wym ie r n ¸
M(x)
r o z kla d a m y n a s u m ¸e wie lo m ia n u i p e wn e j lic z b y u la m k´o w
p r o s t yc h ( i s t o s u je m y wz ´o r : c a lka s u m y je s t r ´o wn a s u m ie c a le k) :
1 . Je z e li s t o p ie ´n L( x)
n ie je s t m n ie js z y o d s t o p n ia M( x) , t o d z ie lim y lic z n ik
M(x)
= W( x) +
L
1
(x)
L(x)
p r z e z m ia n o wn ik
M(x)
, u z ys ku j¸a c wie lo m ia n W( x)
i n o w¸
fu n kc j¸e wym ie r n ¸a , w kt ´o r e j s t o p ie ´
wie lo m ia n u
L
1
( x)
je s t m n ie js z y o d
s t o p n ia m ia n o wn ika .
2 . Je z e li s t o p ie ´
L( x)
je s t m n ie js z y o d s t o p n ia
M( x) , t o z a p is u je m y m ia
ax
2
+ bx + c ( t u :
n o wn ik ja ko ilo c z yn
c z yn n ik´o w p o s t a c i kx + l lu b
L(x)
M(x)
= b
2
−4 ac < 0 ) . N a s t ¸e p n ie r o z kla d a m y
n a s u m ¸e u la m k´o w p r o s t yc h .
K a z d e m u c z yn n iko wi ( kx + l)
n
D
1
D
n
o d p o wia d a s u m a
(kx+l)
1
+ +
(kx+l)
n
.
K a z d e m u c z yn n iko wi ( ax
2
+ bx + c)
m
o d p o wia d a s u m a
R
1
x+S
1
R
m
x+S
m
(ax
2
+bx+c)
1
+ +
(ax
2
+bx+c)
m
.
CALKOWAN I E P E WN YCH FUN KCJI N I E WYM I E RN YCH
R
dx
TY P :
√
ax
2
+bx+c
ME TOD A : Za p is u je m y t r ´o jm ia n kwa d r a t o wy w p o s t a c i ka n o n ic z n e j:
ax
2
+ bx + c = a( x − p)
2
+ q i p o d s t a wia m y x − p =
√
|a|
o t r z ym u j¸a c c a lk¸e
p o s t a c i ( 1 7 ) lu b ( 1 8 ) .
R
W
n
(x)
TY P :
ax
2
+bx+c
dx, g d z ie W
n
( x)
t o wie lo m ia n s t o p n ia n.
√
ME TOD A : Ca lka t a d a s i¸e z a p is a ´c :
Z
Z
√
W
n
( x)
dx
ax
2
+ bx + c
,
g d z ie Q
n−1
( x) t o p e wie n wie lo m ia n s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d n−1 . A b y z n a le ´z ´c
t e n wie lo m ia n i s t a l
¸a K wys t a r c z
y z r ´o z n ic z ko wa ´c p o wyz s z e r ´o wn a n ie , a n a s t ¸e p n ie
p o m n o z y´c p r z e z
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q
n−1
( x)
ax
2
+ bx + c + K
√
√
ax
2
+ bx + c.
P r z e z W( x
1
,. . ., x
n
) o z n a c z m y wyr a z e n ie p o ws t a le z x
1
, . . ., x
n
o r a z s t a lyc h
z a p o m o c ¸a s ko ´n c z o n e j lic z b y o p e r a c ji d o d a wa n ia , o d e jm o wa n ia , m n o z e n ia i d z ie
le n ia .
q
q
R
ax+b
ax+b
cx+d
TY P :
W
cx+d
, .. . ,
s
n
dx
s
1
ax+b
cx+d
= t
s
, g d z ie s t o n a jm n ie js z a ws p ´o ln a wie lo kr o t n o ´s ´c
ME TOD A : P o d s t a wia m y
lic z b s
1
, . .. , s
n
.
CALKOWAN I E P E WN YCH FUN KCJI T RYGON OM E T RYCZN YCH
R
TY P :
W( s in x, c o s x) dx
ME TOD A : P o d s t a wia m y: t = t g
x
2
( t a k z wa n e ” p o d s t a wie n ie u n iwe r s a ln e ” ) .
1+t
2
, c o s x =
1
−
t
2
2
2t
t e d y dx =
1+t
2
dt, s in x =
1+t
2
.
R
TY P :
W( s in x, c o s x) dx, g d y W( − s in x, c o s x) = −W( s in x, c o s x)
ME TOD A : P o d s t a wia m y: c o s x = t.
R
TY P :
W( s in x, c o s x) dx, g d y W( s in x, − c o s x) = −W( s in x, c o s x)
ME TOD A : P o d s t a wia m y: s in x = t.
R
TY P :
W( s in x, c o s x) dx, g d y W( − s in x, − c o s x) = W( s in x, c o s x)
ME TOD A : P o d s t a wia m y: t = t g x.
t
2
1+t
2
dt, s in
2
x =
1
1
t e d y dx =
1+t
2
, c o s
2
x =
1+t
2
.
TY P : Ca lki ilo c z yn ´o w p o s t a c i: s in kx s in lx, c o s kx c o s lx, s in kx c o s lx.
ME TOD A : S t o s u je m y wz o r y z a m ie n ia j¸a c e ilo c z yn n a s u m ¸e :
s in α s in β =
2
c o s ( α − β) − c o s ( α + β)
c o s α c o s β =
2
c o s ( α − β) + c o s ( α + β)
s in α c o s β =
2
s in ( α − β) + s in ( α + β)
.

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl