|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Całka oznaczona Riemanna
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale . Podział przedziału całkowania Przedział dzielimy na n przedziałów dowolnie wybranymi punktami a1, a2, ..., an-1 przy czym a=a0<a1<a2<...<an-1<an=b. Oznaczmy ten podział Pn . długość przedziału k=1,2,...n Liczbę nazywamy średnicą podziału Pn. Suma całkowa W każdym przedziale wybieramy dowolnie punkt xk, obliczamy f(xk) i tworzymy sumę (suma całkowa). Def: Ciąg podziałów przedziału nazywamy normalnym ciągiem podziałów gdy . DEFINICJAJeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału ciąg sum całkowych ( przy dowolnym wyborze argumentów) jest zbieżny do tej samej skończonej granicy, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) funkcji f w przedziale i oznaczamy . O funkcji f mówimy, że jest całkowalna w (sensie Riemanna) w .
Zatem całka oznaczona jest liczbą.
Rozszerzenie znaczenia symbolu całki 1. Jeśli , to . 2. dla każdego a. Wniosek Jeżeli funkcja f jest nieujemna w przedziale , to jest równa polu obszaru leżącego na płaszczyźnie Oxy między wykresem funkcji f i osią Ox w pasie .
Warunki wystarczające całkowalności w sensie Riemanna 1. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale. 2. Funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.
Modyfikacje funkcji niewpływające na istnienie i wartość całki. TW. Jeśli1 funkcje f i g są określone i ograniczone w 2 funkcja g przyjmuje wartości różne od wartości funkcji f w skończenie wielu punktach 3 f jest całkowalna w to g jest całkowalna w oraz .
Uwaga Funkcja nieograniczona w nie jest w tym przedziale całkowalna.
Obliczanie całki oznaczonej za pomocą funkcji pierwotnej
Tw: Jeśli funkcja f jest ciągła w , a F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale to *** Piszemy krótko UwagaJeśli funkcja f jest ciągła w to równość *** można przyjąć za definicję całki oznaczonej.
wzór na całkowanie przez części dla całki oznaczonej
wzór na całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej
WŁASNOŚCI całki oznaczonej Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale to 1. 2. 3.(o podziale przedziału całkowania) Jeśli , to . 4. Jeśli dla każdego spełniona jest nierówność , to . 5. Jeśli dla każdego , to . 6. Jeśli dla każdego , to . 7. Twierdzenie (o wartości średniej) dowód Jeśli f jest ciągła w to istnieje punkt c, taki, że . Def: Liczbę nazywamy średnią całkową funkcji f w przedziale . funkcjA górnej granicy całkowania Niech f będzie funkcją całkowalną w przedziale ,zaś α dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale.
Def: Funkcję nazywamy funkcją górnej granicy całkowania całki.
Tw: dowód Jeśli f jest funkcją całkowalną w i , to funkcja
jest ciągła w przedziale oraz ma pochodną w każdym punkcie x, w którym funkcja podcałkowa f jest ciągła przy czym zachodzi równość . Wniosek Tw: Jeśli funkcja f jest ciągła w , to funkcja jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale . |
Menu
|