|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Wektory główne endomorfizmu (macierzy).
Postać Jordana. Definicja 1. A Wielomian Wa () λ λ λ = + m a m − 1 + + + ... a λ a nn m m − 1 1 0 ( λ W nazywamy wielomianem anulującym macierzy A () : ⇔= + WA aA a A aAaI m m − 1 + + + ⋅ 0 = m m − 1 1 0 Twierdzenie 1. Z: ; A ( ) ( ) nn × ∆= − λ det A I λ T: wielomian charakterystyczny macierzy A jest anulujący ( λ 0 Definicja 2. Wielomianem minimalnym macierzy nazywamy wielomian anulujący taj macierzy stopnia najniższego o współczynniku 1 przy najwyższej potędze. A nn × Twierdzenie 2. ( λ - wielomian minimalny macierzy A A × nn T: wielomian jest jedyny m λ ( ) Twierdzenie 3. Z: ; nn × m λ - wielomian minimalny macierzy A W λ - wielomian anulujący macierzy A ( ) T: wielomian minimalny macierzy A jest podzielnikiem każdego wielomianu anulującego macierzy A. Wp λ λ λ = ⋅ Twierdzenie 4. Z: A nn × - macierz ∆=±− ⋅ − ⋅ ⋅ − () ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ λ λ k 1 k 2 ... ) p - wielomian charakterystyczny macierzy A k 1 2 p kk kn +++= ... 1 2 p m () λ - wielomian minimalny T: Każda wartość własna macierzy A jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana × ... ∆= Z: ; m A ( ) () () ( ) m WNIOSEK () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) k k k jeżeli ∆= λ λ λ λ λ λ λ ±− ⋅ − ⋅ ⋅ − 1 2 ... p to nn × 1 2 p m λλλλλ λλ =− ⋅ − ⋅ ⋅ − s 1 s 2 ... s p 1 2 p i sk i ≤ = i 1,..., p Przykład 1. − − 10 3 323 30 1 ∆=−−⋅ + () ( )( ) λ λ λ 2 2 4 A = − − znaleźć wielomian minimalny m mA ( ) ( ) ( ) () ( )( ) =− − ⋅ + 2 4 =− − ⋅ + A I A I 2 4 − − 30 3 30 3 000 300 363 000 30 3 303 000 − mA () = ⋅ − − − () ⇒ mA - wielomian anulujący Wektory główne Umowa zapisu: W zapisie u to żsamiamy wektor z jego współrzędnymi i w zależności od kontekstu oznacza albo wektor, albo jego współrzędne w bazie. v -macierz Wektor własny odpowiadający tej wartości własn ej nazywamy wektorem g łów n ym r z ędu pierwszego i oznaczamy: nn × v λ - wartość własna macierzy v ( 1 Wektor nazywamy wektorem głównym rzędu drugiego odpowiadającego wartości własnej vv ≠ () () 2 , 2 0 λ jeżeli: ( ( ) A Iv v − λ 2 = () v ≠ ( 1 0 itd. wektor v ≠ ( ) k 0 nazywamy wektorem głównym rzędu k macierzy A jeżeli: ( ( ) AI v v − λ k = ( 1 − v ( 1 k − ≠ 0 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana A i λ λ λ = Definicja 3. A 1 ( ) k ( ) UWAGA Wektor zerowy jest wektorem głównym każdego rzędu odpowiadającego każdej wartości własnej WNIOSEK A = M f f - endomorfizm v ( ) i 0 1,..., ≠ i k ( ) = A Iv v Av v Av v fv v − =⇔⋅ − =⇔⋅ = ⇔ = λ () 1 () () 1 λ 1 0 () () λ 1 ( ( ) 1 λ () ( ) AI v v Av − = ⇔⋅ − = ⇔⋅ = + ⇔ λ () () 2 1 () () () 2 λ v v Av v 2 1 () () () 1 λ v 2 ⇔= fv v v ( ( ) 2 () () + λ 2 ( ) A Iv v Av v v Av v v − = ⇔⋅ − = ⇔⋅ = + ⇔ λ () ( ) k k − 1 () () ( ) k λ k k − 1 () ( ) () k k − 1 λ k ⇔= fv v v ( ( ) k ( ) () k − 1 + λ k Przykład 2. Znaleźć wektory główne macierzy A. 200 021 002 A MBB = ( ) , : f → 3 3 f A = − −= − =− − 2 λ 0 0 de t ( ) AI λ 0 2 λ 1 2 ( ) 3 λ 0 0 2 λ λ 2 3 000 0 001 0 000 0 = = k 1 x x x 1 ⋅ = 2 3 X dim 00 0 00 = = = x x x 1 = α β x = 3 2 ( ) = 0 3 { { } ( ) ( ) } = αβ αβ α β , ,0 , , macierz nie jest diagonalizowalna ∈ = 1,0,0 0,1,0 , , + αβ ∈ 2 X 2 = 2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana 1 1 2 1 1 v () ( ) 1 = αβ ,,0 1 000 001 000 0 x x x 1 α β ⋅ = 2 α β ≠∨ ≠ = =⇒≠ = = 3 0 0 0 α ββ α x 3 0: 0 ( ) bo v 00 () ( ) () ( ) 1 = 0, , 0 β β ∧ ≠ 0 1 ( np v .: 0,1,0 1 = ) 1 00 1 00 = = = x t x s 1 = = x 3 2 v t ogólnie: v { } ( ) ( ) 2 = ,,1,, s t s ∈ 1 { } ( ) ( ) 2 = t ,, ,, 0 s β t s ∈ ∧ ≠ β 1 000 001 x 1 t ⋅ =∧≠ x s β 0 2 000 x β 3 0 t xs = = = 3 sprzeczność!! 0 . β nie istnieją wektory główne rzędu wyższego niż 2. np β = 1 wektory liniowo niezależne v () ( ) = 0,1, 0 , v () ( ) 2 = 0, 0,1 , v () ( ) 1 = 1, 0, 0 1 1 2 ( ) Bv = = () ( ) 1 0,1, 0 , v v () ( ) 2 = 0, 0,1 ; () ( ) 1 = 1, 0, 0 1 1 2 fv ( ( ) 1 = = 2 2,0,0 v () [ ] 1 1 1 B ' fv fv ( ( ) 2 =+ = v v () () [ ] 1 2 2 1, 2,0 1 1 1 B ' ( ( ) 1 = = 2 v () [ ] 1 0,0, 2 210 020 002 2 2 B ' M f = w bazie B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana 1 Definicja 4. ( fX ,,, +⋅ → ) - przestrzeń wektorowa B - baza : X MBB A = f ( ) , Zbiór wszystkich w ektorów głównych macierzy A wszystkich dowolnych rzędów, również , odpowiadających wartości własnej nazywamy przestrzenią charakterystyczną i oznaczamy 0 V λ λ Twierdzenie 5. Z: ( ) XK f XX ,,, +⋅ → - przestrzeń wektorowa B - baza : T: ( ) -podprzestrzeń przestrzeni X VK λ ,,, +⋅ Definicja 5. nazywamy przestrzenią charakterystyczną macierzy A (endomorfizmu f) λ ,,, +⋅ nn × -wartość własna T: Niezerowy wektor jest w ekto re m głównym rzę du k m a cierzy A v ( ) k () () ( ) k ( ) λ − k 1 ⇔ − ⋅ = ∧− ⋅ ≠ AI v AI v λ k 0 k 0 Twierdzenie 7. Z: AM nn f × = λ wartość własna vv v () () () 1 , 2 ,..., k - wektory główne różnych rzędów v () i ≠ = 0, 1,..., i k T: vv () () () 1 , 2 ,..., v k wektory liniowo niezależne niezerowe wektory główne różnych rzędów odpowiadające tej samej wartości własnej są liniowo niezależne. Twierdzenie 8. Z: fX X Xn → = f - endomorfizm ∆=− ⋅ − ⋅ ⋅ − () ( ) ( ) ( λλλλλ λλ α 1 α ... ) wielomian charakterystyczny p 1 2 p αα α 1 +++= podprzestrzenie charakterystyczne odpowiadające wartościom własnym 2 ... p n VV V λλ λ 1 , 2 ,..., p Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana XK ( ) VK Twierdzenie 6. Z: A , : dim α 2 |
Menu
|