wach, materiały PWr, W9 - mechaniczno-energetyczny

PWR ­– ME – Laboratorium Materiałów Konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych

Wyznaczanie modułu sztywności metodą statyczną

 

Data Ćwiczenia:

 

Wykonawcy:

 

Ocena:

 

 

 

Cel ćwiczenialWyznaczanie modułu sztywności trzech prętów.llSprawdzenie wzoru na okres drgań podłużnych obciążonej sprężyny oraz wyznaczenie modułu sztywności i modułu Younga sprężyny.lOpis metody pomiarowej

 

Moduł sztywności G pręta wyznacza się korzystając z prawa Hooke'a. Rozważając cylindryczny wycinek pręta o promieniu wewnętrznym r' grubości dr', długości l oraz powierzchni pierścienia S (rys. 1) naprężenie styczne τ wyraża się wzorem 1

τ=G∙γ

1

gdzie: γ - odkształcenie postaciowe

 

Rys. 1.  Odkształcenie cylindrycznej warstwy odkształcanego druta

γ

             

             

              Wykorzystując fakt, że γ=sl oraz α=sr' otrzymujemy równanie 2

τ=G∙r'l∙α

2

              Naprężenie styczne τ możemy także zapisać jako stosunek siły stycznej Fs do pola powierzchni pierścienia S:

τ=FsS

3

              Po przekształceniu i podstawieniu τ z równania 2 oraz oznaczeniu siły działającej na pierścień o polu S=2π∙r'∙dr' jako dFsotrzymuje się

dFs=2π∙r'∙G∙r'l∙α∙dr'

4

              Korzystając z układu pomiarowego przygotowanego do wykonania ćwiczenia łatwo możemy wyznaczyć moment siły działający M na pręt równanie 4 mnożymy razy r'

dM=2π∙Gl∙r'3∙α∙dr'

5

              Całkując po r' w granicach od r'=0 do r'=r otrzymuje się

M=π∙G∙r4∙α2l

6

              Wyznaczając moduł sztywności G dla sprężyny wykorzystujemy to, że przy rozciąganiu na drut z którego jest wykonana działa moment skręcający M:

M=rs∙mg∙g

7

gdzie: rs- promień sprężyny; mg- masa obciążająca sprężynę

 

              Porównując ze wzorem 6 otrzymuje się

rs∙mg∙g=12∙π∙G∙r4∙αl

8

gdzie: r- promień drutu; α-kąt o jaki jeden koniec drutu skręca się względem drugiego;

              l- długość drutu sprężyny równa 2∙π∙rs∙N (N- liczba zwojów sprężyny)

 

              Przyjmując za α= ∆hrs, gdzie ∆h- zmiana długości sprężyny otrzymuje się

mg=r4∙G4∙rs3∙N∙g∙∆h

9

              Równanie powyższe jest równaniem prostej mg∆h o nachyleniu a

a=r4∙G4∙rs3∙N∙g

10

              Moduł Younga E wyznaczamy wprowadzając sprężynę w drgania torsyjne o okresie drgań Tt

Tt=2∙πʒD

11

gdzie: ʒ- moment bezwładności masy zawieszonej na sprężynie; D- moment kierujący

 

              Z definicji momentu siły dla kąta β rysunek 2 otrzymuje się

D=Mβ

12

 

Rys. 2. Sprężyna pobudzona do drgań torsyjnych

 

              W przypadku rozważanej sprężyny moment kierujący wynosi

D=E∙π∙r44∙l

13

              Podstawiając do wzoru 10 oraz podstawiając długość drutu sprężyny l otrzymuje się

Tt=2∙π8∙rs∙N∙ʒE∙r4

14

Stanowisko pomiarowe

Stanowisko pomiarowe do wyznaczenia modułu sztywności prętów D jest przedstawione na rysunku 3. Składa się ono z tarczy T o promieniu R. Nici N przeprowadzonej przez bloczki B oraz rowek w tarczy. Na nici N podwieszane są odważniki m, których masa za pośrednictwem nici, bloczków i tarczy wywołuje moment skręcający działający na pręt D. Dzięki zastosowaniu tarczy mamy pewność, że moment siły pozostaje stały.

 

Rys. 3. Schemat stanowiska do badania modułu sztywności metodą statyczną

 

              Moduł sztywności G wyznaczamy po podstawieniu do wzoru 6 moment siły M=R∙m∙g  oraz przekształceniu do postaci

G=2∙l∙R∙m∙gπ∙r4∙α

15

             

              Długość l, grubość 2r pręta oraz promień tarczy R mierzymy przy pomocy suwmiarki  o dokładności 0,01mm. Kąt α odczytujemy z podziałki umieszczonej na tarczy.

Niepewność pomiaru modułu sztywności ∆G wyznaczamy ze wzoru

∆G=4∙∆rr2+∆αα2∙G

16

gdzie: ∆r to odchylenie standardowe r,

 

              W przypadku wyznaczania modułu sztywności G (rys. 4) oraz modułu Younga (rys. 2) przy pomocy suwmiarki mierzymy długość l, grubość drutu rs oraz liczymy liczbie zwojów N oraz korzystamy z obciążników m o ustalonej masie. Kąt β odczytujemy z podziałki umieszczonej na tarczy.

 

Rys. 4. Schemat układu pomiarowego do wyznaczania modułu sztywności metodą statyczną dla sprężyny

 

              Moduł sztywności G sprężyny wyznaczamy przy korzystając z wzoru 10 przekształconego do postaci

G=4∙rs3∙N∙g∙ar4

 

             

 

              Moduł Younga E wyznaczamy po podstawieniu za ʒ=12mw∙rw do  wzoru 14 oraz wyznaczeniu E

E=16π2∙rs∙N∙mw∙rw2Tt2∙r4

17

              Niepewność modułu Younga ∆E w danym przypadku można wyznaczyć z równania

∆E=∆rsrs2+2∙∆TtTt2+4∙∆rr2∙E

gdzie: ∆rs,∆r,∆Tt to odchylenia standardowe danych wielkości

 

 

 

 

 

 

 

Protokół pomiarowy

Tabela. 1.  Wyniki pomiaru masy obciążników

 

podstawka

odważniki

tarcza

1

2

3

4

5

m [g]

344,76

213,99

419,43

421,32

426,76

418,42

524,07

...

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl