|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Wst¦p do fizyki - drgania, oscylator harmoniczny
1. Na niewa»kiej spr¦»ynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ci¦»arek, oka- zało si¦, »e cz¦sto±¢ drga« zmieniła si¦ dwukrotnie, a punkt równowagi przesun¡ł si¦ o x . Znale¹¢ cz¦sto±¢ drga« kulki zawieszonej na spr¦»ynie. q 3 g x Odp.! = 2. Trampolina, po wej±ciu na ni¡ skoczka, ugi¦ła si¦ o x . Zakładaj¡c, »e trampolina ma idealne własno±ci spr¦»yste i mas¦ zaniedbywalnie mał¡ w porównaniu ze skoczkiem, obliczy¢ cz¦sto±¢ oscylacji trampoliny ze skoczkiem. q g x Odp.! = k 1 + k 2 , b) K z = k 1 + k 2 4. Ci¦»arek o masie m , zawieszony na n iewa» kiej spr¦»ynie o stałej spr¦»ysto±ci k i długo- ±ci swobodnej l , drga z cz¦sto±ci¡ p k/m . Jak zmieni si¦ cz¦sto±¢ drga« ci¦»arka, gdy kawałek spr¦»yny o długo±ci a zostanie odci¦ty? Odp.! = k 1 k 2 q lk ( l − a ) m 5. Na poziomym doskonale gładkim stole le»y, przymocowane spr¦»yn¡ do ±ciany ciało o masie M . W ciało trafia pocisk o masie m lec¡cy poziomo z pr¦dko±ci¡ v i zostaje w nim. Po zderzeniu ciało wraz z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitud¡ A. Wyznaczy¢ cz¦sto±¢ tych drga«. Odp.! = mv ( m + M ) A 6. rednia odległo±¢ mi¦dzy wybojami na drodze wynosi d . Jaka jest stała spr¦»ysto±ci resoru samochodu o czterech kołach, je±li jad¡c z pr¦dko±ci¡ v samochód wpadł w re- zonans. Odp.k = 2 v 2 m d 2 7. Dwa cylindryczne b¦bny o jednakowych promieniach szybko obracaj¡ si¦ w przeciwnych kierunkach. Odległo±¢ mi¦dzy osiami b¦bnów wynosi l . Na b¦bny poło»ono swobodnie jednorodny pr¦t o ci¦»arze P tak, »e jego ±rodek ci¦»ko±ci jest bli»ej jednego b¦bna. Współczynnik tarcia mi¦dzy pr¦tem a ka»dym b¦bnem wynosi f . Udowodni¢, »e pr¦t wykonuje drgania harmoniczne. 8. Ciało o masie M , na które działa siła F = a − bx (gdzie a i b to dodatnie stałe, a x to poło»enie ciała), le»y na doskonale gładkiej powierzchni w punkcie x 0 = b . W chwili pocz¡tkowej t = 0 w ciało uderza lec¡cy równolegle do podło»a pocisk o masie m . Pocisk przeszywa ciało na wylot, zmniejszaj¡c przy tym swoj¡ pr¦dko±¢ o połow¦. Jaka musi by¢ pocz¡tkowa pr¦dko±¢ pocisku v 0 , aby ciało uderzyło w murek poło»ony w punkcie x mur = 3 b ? Odp: v 0 = 4 m q b 1 3. Jaka b¦dzie cz¦sto±¢ własna a) szeregowego i b) równoległego poł¡czenia spr¦»yn obci¡- »onych mas¡ m o stałych spr¦»ysto±ci k 1 i k 2 ? Uwaga: Nie u»ywa¢ gotowego wzoru, tylko rozwi¡za¢ równania ruchu. Odp.! = p K z /m , gdzie a) K z = 9. W rurce o przekroju S zgi¦tej w kształcie litery ”U” znajduje si¦ słup wody o długo±ci l , przy czym w chwili pocz¡tkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wy»szy ni» w drugim. Jaki b¦dzie okres drga« słupa wody (pomin¡¢ siły lepko±ci)? q 2 g Odp: T = 2 10. Znale¹¢ ogólne rozwi¡zanie problemu oscylatora harmonicznego z tłumieniem, bez wy- muszenia, je»eli cz¦sto±¢ drga« własnych oscylatora wynosi ! 0 , za± współczynnik tłu- mienia a) > ! 0 b) < ! 0 . Naszkicowa¢ przykładow¡ zale»no±¢ poło»enia oscylatora od czasu. 11. Na niewa»kiej spr¦»ynie o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci swobodnej l 0 wisi klocek cz¦- ±ciowo zanurzony w cieczy o g¦sto±ci . Górny koniec spr¦»yny zamocowany jest na wysoko±ci H nad poziomem cieczy. Klocek ma mas¦ m , długo±¢ h i przekrój poprzeczny s . Znale¹¢ ruch klocka wychylonego z poło»enia równowagi, je±li podczas ruchu klocek jest zawsze cz¦±ciowo zanurzony w cieczy. Pomin¡¢ tarcie oraz zmian¦ poziomu cieczy podczas ruchu klocka. Odp.x ( t ) = A cos( !t + ' ) + mg + gs ( H − h )+ kl 0 k + gs , gdzie ! = q gs + k m 12. Klocek o masie m spoczywaj¡cy na stole zamocowano mi¦dzy dwiema spr¦»ynami o takich samych długo±ciach swobodnych l 0 o ró»nych współczynnikach spr¦»ysto±ci k 1 i k 2 . Szeroko±¢ klocka jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z odległo±ci¡ pomi¦dzy punktami zamocowania spr¦»yn, która wynosi L > 2 l 0 . W pewnej chwili spoczywaj¡- cemu klockowi nadano pr¦dko±¢ v . Znale¹¢ zale»no±¢ poło»enia klocka od czasu, je»eli porusza si¦ on bez tarcia. Odp.x ( t ) = ! sin !t + k 1 + k 2 , ! = q k 1 + k 2 m 13. Dwie jednakowe kulki o masie m poł¡czono spr¦»yn¡ o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci swobodnej l 0 , a nast¦pnie ka»d¡ z kul naładowano takim samym ładunkiem q . Znale¹¢ zale»no±¢ poło»enia kulek od czasu, je±li w chwili pocz¡tkowej kulki znajduj¡ si¦ w odległo±ci l 0 jedna od drugiej i ich pr¦dko±ci s¡ równe zeru. Zało»y¢, »e amplituda drga« jest du»o mniejsza od l 0 . Odp.r ( t ) = − µl 0 2( k + µ ) cos !t + l 0 + 2( k + µ ) , ! = µl 0 q 2( k + µ ) m , µ = q 2 2 " 0 l 3 0 14. Układ składa si¦ z dwóch kul o masie m , naładowanych ładunkami + q i − q poł¡czonych spr¦»yn¡ o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci swobodnej l 0 . W przybli»eniu małych drga« znale¹¢ zale»no±¢ poło»enia kulek od czasu, je±li w chwili t = 0 kulki spoczywały w odległo±ci l 0 od siebie. r 2 m + Odp.x 1 , 2 ( t ) = ± 2 ! 2 cos !t 2 ! 2 , ! = m" 0 l 3 0 , = q 2 2 " 0 l 2 0 m 2 ( k 1 − k 2 ) l 0 + k 2 L q 2 |
Menu
|