wektory ilm, Budownictwo, Semestr 3

1
Wydział: WILi, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Iloczynmieszanywektorów
Definicja
Iloczynemmieszanym
trójki wektorów
~a
,
~
b
i
~c
nazywamy liczb¦
(
~a
×
~
b
)
~c.
Uwaga
Wektory
~a
,
~
b
i
~c
s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy (
~a
×
~
b
)
~c
6
= 0 .
Zatem, je»eli (
~a
×
~
b
)
~c
= 0 , to wektory
~a
,
~
b
i
~c
s¡ liniowo zale»ne. Trójka wektorów
liniowo zale»nych (w
R
współpłaszczyznowe.
(Uwaga powy»sza pozwala w szybki i prosty sposób sprawdza¢ liniow¡ niezalezno±¢ trójki wektorów
w
R
3
, a tym samym ich współpłaszczyznowo±¢).
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego
Rozwa»my równoległo±cian zbudowany na wektorach
~a
,
~
b
i
~c
(rys.). Wówczas obj¦to±¢
takiego równoległo±cianu wyra»a si¦ wzorem:
V
r
=
|
(
~a
×
~
b
)
~c
|
tj. obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach
~a
,
~
b
i
~c
jest równa warto±ci
bezwzgl¦dnej z iloczynu mieszanego tych wektorów.
Obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach
~a
,
~
b
i
~c
wyra»a si¦ wzorem:
V
cz
=
6
|
(
~a
×
~
b
)
~c
|
3
) le»y w jednej płaszczy¹nie, zatem wektory
~a
,
~
b
i
~c
s¡ wówczas
1
2
Własno±ci
(iloczynumieszanegowektorów)
(
~a
×
~
b
)
~c
=
−
(
~
b
×
~a
)
~c
(
~a
×
~
b
)
~c
=
−
(
~a
×
~c
)
~
b
(
~a
×
~
b
)
~c
= (
~c
×
~a
)
~
b
= (
~
b
×
~c
)
~a
Twierdzenie Je»eli
~a
= [
a
1
,a
2
,a
3
] ,
~
b
= [
b
1
,b
2
,b
3
] i
~c
= [
c
1
,c
2
,c
3
] , to
(
~a
×
~
b
)
~c
=
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
Przykład
Oblicz obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach
~a
= [ 1
,
1
,
1] ,
~
b
=
[ 1
,
1
,
−
3] i
~c
= [ 2
,
−
1
,
−
1] .
Rozwi¡zanie
Obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach
~a
,
~
b
i
~c
jest równa
V
r
=
|
(
~a
×
~
b
)
~c
|
Zatem obliczmy najpierw iloczyn mieszany wektorów
~a
,
~
b
i
~c
, korzystaj¡c z powy»szego twier-
dzenia:
1 1 1
1 1
−
3
2
−
1
−
1
(
~a
×
~
b
)
~c
=
=
−
1
−
6
−
1
−
2
−
3 + 1 =
−
12
V
r
=
|
(
~a
×
~
b
)
~c
|
=
|−
12
|
= 12
Odpowied¹
Obj¦to±¢ równoległo±cianu zbudowanego na wektorach
~a
,
~
b
i
~c
jest równa 12.
St¡d

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl