wartosc wlasna, WSB IiE

Wektory w“asne i warto–ci w“asne macierzy
Niech dana bƒdzie macierz kwadratowa
A
=[
a
ij
]stopnia
n
.
De
nicja 1 Jednokolumnow¡ macierz
X
=
2
6
6
6
4
x
1
x
2
.
x
n
3
7
7
7
5
6
=0
spe“niaj¡c¡ r
ó
wnanie
AX
=
¸X
nazywamy wektorem w“asnym macierzy
A
, a odpowiadaj¡c¡ jej liczbƒ
¸
warto–-
ci¡ w“asn¡ tej macierzy.
Aby znale„¢ wszystkie wektory w“asne i warto–ci w“asne macierzy rozwi¡zu-
jemy nastƒpuj¡ce r
ó
wnanie macierzowe:
(
A¡¸E
)
X
=0
:
De
nicja 2 Macierz
A¡¸E
nazywamy macierz¡ charakterystyczn¡ macierzy
A
.
De
nicja 3 R
ó
wnaniedet(
A¡¸E
)=0nazywamy r
ó
wnaniem charakterysty-
cznym i zapisujemy w postaci
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=0
:
Przyk“ad 1 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy
·
22
13
¸
A
=
:
Przyk“ad 2 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy
·
31
24
¸
A
=
:
Aby obliczy¢ pierwiastki charakterystyczne rozwi¡»emy r
ó
wnanie charakterysty-
czne:
¯
¯
¯
¯
3
¡¸
1
2 4
¡¸
¯
¯
¯
¯
=0
:
Obliczaj¡c wyznacznik otrzymujemy r
ó
wnanie:
(3
¡¸
)(4
¡¸
)
¡
2=0
;
1
a
11
¡¸ a
12
::: a
1
n
a
21
a
22
¡¸ ::: a
2
n
::::::::: ::::::::: ::: :::::::::
a
n
1
a
n
2
::: a
nn
¡¸
¸
2
¡
7
¸
+10=0
:
Zatem pierwiastkami charakterystycznymi s¡:
¸
1
=2 i
¸
2
=5
:
Znajdziemy teraz wektory w“asne odpowiadaj¡ce tym warto–ciom w“asnym.
·
x
1
x
2
¸
²¸
=2. Poniewa»
X
=
, wiƒc r
ó
wnanie
AX
=
¸
1
X
mo»emy zapisa¢
w postaci:
·
31
24
¸
·
x
1
x
2
¸
·
x
1
x
2
¸
¢
=2
:
Wykonuj¡c mno»enia mamy
·
3
x
1
+2
x
2
x
1
+4
x
2
¸
·
2
x
1
2
x
2
¸
=
;
sk¡d otrzymujemy uk“ad r
ó
wna«:
½
3
x
1
+2
x
2
=2
x
1
x
1
+4
x
2
=2
x
2
:
Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stronƒ, sk¡d
½
x
1
+2
x
2
=0
x
1
+2
x
2
=0
:
Poniewa» obydwa r
ó
wnania s¡ takie same, wiƒc uk“ad r
ó
wna« sprowadza
siƒ do r
ó
wnania
x
1
+2
x
2
=0
:
Przyjmijmy parametr, »e
x
2
jest parametrem, czyli
t
=
x
2
. Skoro
X
jest
wektorem niezerowym, wiƒc zak“adamy,»e
t 6
=0. Zatem rozwi¡zaniem
uk“adu jest
8
<
x
1
=
¡
2
t
x
2
=
t
t
jest parametrem r
ó
»nym od zera
:
:
Wobec tego
·
¡
2
t
t
¸
X
=
;
dla
t6
=0lub
·
¡
2
1
¸
X
=
t
;
dla
t 6
=0. Podsumowuj¡c otrzymali–my rodzinƒ wektor
ó
w w“asnych
postaci
X
=
t
·
¡
2
1
¸
dla
t6
=0odpowiadaj¡cych warto–ci w“asnej
¸
=2.
2
sk¡d
²¸
=5. Postƒpujemy tak jak w poprzednim punkcie, wiƒc rozwi¡zujemy
r
ó
wnanie
AX
=5
X
, gdy
X
=
·
x
1
x
2
¸
, zatem:
·
31
24
¸
·
x
1
x
2
¸
·
x
1
x
2
¸
¢
=5
:
Po wykonaniu odpowiednich mno»e« mamy
·
3
x
1
+2
x
2
x
1
+4
x
2
¸
·
5
x
1
5
x
2
¸
=
;
sk¡d otrzymujemy nastƒpuj¡cy uk“ad r
ó
wna«:
½
3
x
1
+2
x
2
=5
x
1
x
1
+4
x
2
=5
x
2
:
Przenosimy wszystkie niewiadome na lew¡ stronƒ, wiƒc
½
¡
2
x
1
+2
x
2
=0
x
1
¡x
2
=0
:
Podzielmy pierwsze r
ó
wnanie przez
¡
2:
½
x
1
¡x
2
=0
x
1
¡x
2
=0
;
wtedy oczywi–cie obydwa r
ó
wnania s¡ takie same, wiƒc uk“ad r
ó
wna«
sprowadza siƒ do r
ó
wnania
x
1
¡x
2
=0
:
Przyjmijmy, »e
x
2
jest parametrem, czyli
t
=
x
2
. Skoro
X
jest wektorem
niezerowym, wiƒc zak“adamy, »e
t6
=0. Zatem rozwi¡zaniem uk“adu jest
8
<
x
1
=
t
x
2
=
t
t
jest parametrem r
ó
»nym od zera
:
:
Wobec tego
·
t
t
¸
X
=
;
dla
t6
=0lub
·
1
1
¸
X
=
t
;
dla
t6
=0. Wobec tego otrzymali–my rodzinƒ wektor
ó
w w“asnych postaci
·
1
1
¸
X
=
t
dla
t6
=0odpowiadaj¡cych warto–ci w“asnej
¸
=5.
3
·
1
1
¸
·
3
3
¸
Sprawdzimy, »e je–li przyjmiemy
t
=3, to wektor
X
=3
=
jest
wektorem w“asnym odpowiadaj¡cym warto–ci w“asnej
¸
=5. Istotnie,
·
32
14
¸
·
3
3
¸
·
9+6
3+12
¸
·
15
15
¸
AX
=
¢
=
=
oraz
·
3
3
¸
·
15
15
¸
5
X
=5
=
;
wiƒc
·
3
3
¸
AX
=5
X;
a zatem wektor
X
=
jest wektorem w“asnym odpowiadaj¡cym warto–ci
w“asnej
¸
=5.
Przyk“ad 3 Znale„¢ warto–ci w“asne i wektory w“asne macierzy
2
2
¡
1
¡
2
¡
1 5 1
¡
2 1 2
3
A
=
4
5
:
Korzystaj¡c z w“asno–ci wyznacznika
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
¡¸ a
12
::: a
1
n
a
21
a
22
¡¸ ::: a
2
n
::::::::: ::::::::: ::: :::::::::
a
n
1
a
n
2
::: a
nn
¡¸
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=0
ostatnie r
ó
wnanie mo»na zapisa¢ nastƒpuj¡co:
(
¡
1)
n
(
¸
n
¡p
1
¸
n¡
1
+
p
2
¸
n¡
2
¡:::
+(
¡
1)
n
p
n
)=0
:
Twierdzenie 1 (wz
ó
r Hamiltona-Cayley’a) Ka»da macierz jest pierwiastkiem
swojego wielomianu charakterystycznego:
A
n
¡p
1
A
n¡
1
+
p
2
A
n¡
2
¡:::
+(
¡
1)
n
p
n
E
=0
:
Twierdzenie 2 Je–li
jAj6
=0, to
A
¡
1
=(
¡
1)
n¡
1
1
p
n
(
A
n¡
1
¡p
1
A
n¡
2
+
:::
+(
¡
1)
n¡
1
p
n¡
1
E
)=0
:
·
2 1
1
¡
1
¸
Przyk“ad 4 Maj¡c dan¡ macierz
A
=
sprawdzi¢ s“uszno–¢ Twierdzenia 1
dla tej macierzy.
Przyk“ad 5 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy
A
z poprzedniego przyk“adu.
4

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl