w rachroz, Budownictwo, Semestr 3

WILi-
-sem.I-
drAnitaTlałka-1
Rachunekró»niczkowyfunkcjijednejzmiennej
Definicja
Niech
x
0
2
R
orazniechfunkcja
f
b¦dzieokre±lonawpewnymoto-
czeniupunktu
x
0
.Niech
x
b¦dzieprzyrostemtakim,»e
x
=
x
0
+
x
nale»ydotegootoczenia.
Ilorazemró»nicowym
funkcji
f
wpunkcie
x
0
odpowiadaj¡cymprzyrostowi
x
,zmiennejniezale»nejnazywamylicz-
b¦
f
x
def
=
f
(
x
o
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
.
 WILi-
-sem.I-
drAnitaTlałka-2
Definicja
Niech
x
0
2
R
orazniechfunkcja
f
b¦dzieokre±lonawpewnymotocze-
niupunktu
x
0
.
Pochodn¡wła±ciw¡funkcji
f
wpunkcie
x
0
nazywamy
granic¦wła±ciw¡
f
(
x
o
+
x
)
−
f
(
x
0
)
f
0
(
x
0
)
def
=lim
x
.
x
!
0
Przykład
Korzystaj¡czdefinicjiobliczpochodn¡funkcji:
a)
f
(
x
)=
a
x
;
b)
f
(
x
)=ln
x
;
c)
f
(
x
)=sin
x
wpunkcie
x
0
.
 WILi-
-sem.I-
drAnitaTlałka-3
Uwaga
f
0
(
x
0
)=tg
,
gdzie
oznaczak¡tmi¦dzystyczn¡dowykresufunkcji
f
wpunkcie
P
(
x
0
,f
(
x
0
))
idodatni¡cz¦±ci¡osi
Ox
.
Uwaga
Równaniestycznejdowykresufunkcji
f
wpunkcie
P
(
x
0
,f
(
x
0
))
ma
posta¢
y
−
f
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)(
x
−
x
0
)
.
Równanienormalnejdowykresufunkcji
f
wpunkcie
P
(
x
0
,f
(
x
0
))
ma
posta¢
y
−
f
(
x
0
)=
−
1
f
0
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
.
 WILi-
-sem.I-
drAnitaTlałka-4
Definicja
Niech
f
b¦dziefunkcj¡ci¡gł¡wpunkcie
x
0
2
R
.Funkcja
f
maw
punkcie
x
0
pochodn¡niewła±ciw¡
wtedyitylkowtedy,gdy
f
(
x
o
+
x
)
−
f
(
x
0
)
lim
x
=
±1
x
!
0
Twierdzenie
Je»elifunkcjamapochodn¡wła±ciw¡wpunkcie,tojestci¡gławtym
punkcie.
Uwaga
Implikacjaodwrotnaniejestprawdziwa.Np.
f
(
x
)=
|
x
|
jestci¡gław
0
,ale
f
0
(0)
nieistnieje.
 WILi-
-sem.I-
drAnitaTlałka-5
Definicja
Niech
x
0
2
R
orazniechfunkcja
f
b¦dzieokre±lonaprzynajmniejna
otoczeniu
O
(
x
−
0
)
.
Pochodn¡lewostronn¡wła±ciw¡
funkcji
f
wpunkcie
x
0
nazywamygranic¦wła±ciw¡
f
(
x
o
+
x
)
−
f
(
x
0
)
f
0
−
(
x
0
)
def
=lim
x
.
x
!
0
−
Uwaga
Analogiczniedefiniujesi¦pochodn¡prawostronn¡wła±ciw¡funkcji
f
wpunkcie
x
0
.Oznaczamyj¡
f
0
+
(
x
0
)
.
Twierdzenie
(
warunekkoniecznyidostatecznyistnieniapochodnej
)
Funkcja
f
mapochodn¡wpunkcie
x
0
wtedyitylkowtedy,gdy
f
0
−
(
x
0
)=
f
0
+
(
x
0
)
.
 

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl