w2, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Teoria sterowania

Sygnał o symetrii parzystej

Sygnał o symetrii parzystej: Sygnał ma symetrię parzystą, jeżeli dla każdej chwili czasu t (lub

czasu dyskretnego n) zachodzi: x(t) = x(-t) lub x[n] = x[-n] np.(a)

Sygnał o symetrii nieparzystej: Sygnał ma symetrię nieparzystą,  jeżeli dla każdej chwili czasu t (lub

czasu dyskretnego n) zachodzi: x(t) = -x(-t) lub x[n] = -x[-n] np.(b)

Dystrybucja-funkcja uogólniona stosowana do opisu sygnałów singularnych (osobliwych-funkcja opisująca zjawisko, które trwa nieskończenie krótko. Np. delta diraca)

Rysunek 1 Własności dystrybucji delty Diraca

System- model zjawisk fizycznych w których przyczyna reprezentowana jest przez sygnał wejściowy, a skutek przez sygnał wyjściowy. Tworzone modele są zazwyczaj uproszczone:

- zaniedbywane są efekty drugorzędne, skupienie na efektach istotnych dla danego zjawiska                         

-prowadzi to do znacznego uproszczenia modeli przy ich zadowalającej dokładności.

System czasu ciągłego- System jest systemem czasu ciągłego, jeżeli:

-akceptuje na wejściu sygnały czasu ciągłego

-jego odpowiedz´ również jest sygnałem czasu ciągłego

System czasu dyskretnego- System jest systemem czasu dyskretnego, jeżeli

-akceptuje na wejściu sygnały czasu dyskretnego

-jego odpowiedź również jest sygnałem czasu dyskretnego

System bez pamięci- System jest systemem bez pamięci, jeżeli dla dowolnej chwili t0

wartość sygnału wyjściowego y(t0) zależy wyłącznie od wartości

sygnału wejściowego x(t0) w tej samej chwili.

System taki nazywa się także systemem statycznym

System z pamięcią- System jest systemem z pamięcią,  jeżeli chwili t0 wartość sygnału

wyjściowego y(t0) zależy od wartości sygnału wejściowego x(t)

w chwilach poprzedzających t0 lub następujących po t0.

System taki nazywa się także systemem dynamicznym

Stanem systemu nazywamy zbiór liniowo niezależnych wielkości

v1; v2…… vn  określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań

na system, który to zbiór jest wystarczający do wyznaczenia

odpowiedzi systemu w przyszłości.

Wielkości v1; v2;…..; vn nazywa się zmiennymi (współrzędnymi)

stanu, a wektor v = [v1; v2; : : : ; vn] – wektorem stanu

-Stan jest zamrożoną fotografią systemu w chwili t0

-Zmienne stanu są związane z elementami systemu magazynującymi energię

-W przypadku obwodów elektrycznych zmiennymi stanu są zwykle napięcia na pojemnościach i prądy w indukcyjnościach

Stabilność

System stabilny- system jest stabilny, jeżeli małe sygnały wejściowe prowadzą do ograniczonych sygnałów wyjściowych

System stabilny ze względu na wymuszenie- System jest stabilny ze względu na wymuszenie, jeżeli dowolny ograniczony sygnał wejściowy powoduje powstanie ograniczonego sygnału wyjściowego

-Stabilność układów fizycznych związana jest z mechanizmem rozpraszania energii przez układ

-Dzielnik napięcia jest układem stabilnym, w którym energia sygnału wejściowego u1(t) jest rozpraszana przez rezystancje R1,R2

Badanie niestabilności:

-Aby wykazać, że system jest niestabilny, wystarczy znaleźć ograniczony sygnał wejściowy, powodujący wygenerowanie przez system nieograniczonego sygnału wyjściowego

-dla systemu opisanego równaniem y[n]=n*x[n] ograniczony sygnał wejściowy x[n]=1[n] powoduje pojawienie się nieograniczonego sygnału wyjściowego. –system niestabilny

-gdy nie potrafimy wskazać takiego sygnału, badanie stabilności staje się trudne.

Systemy Liniowe:

System liniowy bez pamięci:

y(t)=f(x(t))

Niech y1(t) = f (x1(t)) jest odpowiedzią systemu na sygnał x1(t), zaś y2(t) = f (x2(t)) – na sygnał x2(t)

System bez pamięci addytywny:

System bez pamięci jest addytywny, jeżeli dla dowolnych dwóch sygnałów wejściowych zachodzi:

y(t) = f (x1(t) + x2(t)) = f (x1(t)) + f (x2(t)) = y1(t) + y2(t)

System bez pamięci jednorodny

System bez pamięci jednorodny, jeżeli dla dowolnej stałej  a i dowolnego sygnału wejściowego x(t) zachodz:

ya(t) = f (ax(t)) = af (x(t)) = ay(t)

System bez pamięci jest liniowy, jeżeli jest addytywny i jednorodny.

Zasada superpozycji- Jednoczesne spełnienie warunku addytywności i jednorodności.

System Liniowy z pamięcią

-Pojęcie bardziej złożone od liniowości systemów bez pamięci

-odpowiedź systemu z pamięcią zależy od sygnału wejściowego

-Liniowość systemu z pamięcią oznacza liniowość względem sygnału wejściowego oraz warunków początkowych

Addytywność systemów z pamięcią

Niech:

warunek początkowy v1(t0) i sygnał wejściowy x1(t); t >= t0 wywołują

odpowiedź y1(t); t >= t0 ,

warunek początkowy v2(t0) i sygnał wejściowy x2(t); t >= t0 wywołują

odpowiedź y2(t); t >= t0 .

System z pamięcią jest addytywny, jeżeli warunek początkowy

v1(t0)+v2(t0) oraz sygnał wejściowy x1(t)+x2(t); t >= t0 powodują odpowiedź

y1(t) + y2(t); t >= t0.

Jednorodność systemów z pamięcią:

Niech:

warunek początkowy v(t0) i sygnał wejściowy x(t); t >= t0 wywołują

odpowiedź y(t); t >= t0 ,

α należy do R; α różne od 0 jest dowolną stałą.

System z pamięcią jest jednorodny, jeżeli warunek początkowy αv(t0) oraz

sygnał wejściowy αx(t); t >= t0 powodują odpowiedź αy(t); t >= t0.

System z pamięcią liniowy:

Niech:

warunek początkowy v1(t0) i sygnał wejściowy x1(t); t >= t0 wywołują

odpowiedź y1(t); t >= t0 ,

warunek początkowy v2(t0) i sygnał wejściowy x2(t); t >= t0 wywołują

odpowiedź y2(t); t >= t0 ,

α; β należy do R; α różne od 0, β różne od 0 są dowolnymi stałymi.

System z pamięcią jest liniowy, jeżeli warunek początkowy αv1(t0) + βv2(t0)

oraz sygnał wejściowy αx1(t) + βx2(t); t >= t0 powodują odpowiedź

αy1(t) + βy2(t); t >= t0.

Stacjonarność- właściwości systemu nie zmieniają się w czasie i ten sam eksperyment przeprowadzony w chwilach t0 i t0+T da identyczne wyniki.

Stacjonarność systemu bez pamięci

System analogowy bez pamięci jest stacjonarny, gdy spełniony jest

warunek, że jeżeli odpowiedzią systemu na sygnał x(t) jest y(t), to dla

każdej wartości t należącego do R odpowiedzią systemu na sygnał x(t  T) będzie

y(t - T)

System czasu dyskretnego bez pamięci jest stacjonarny, gdy spełniony jest warunek, że jeżeli odpowiedzią systemu na sygnał x[n] jest y[n], to dla każdej wartości n0 należącego do C odpowiedzią systemu na sygnał x[n -n0] będzie y[n-n0]

Stacjonarność systemu czasu dyskretnego z pamięcią

Niech warunek początkowy v(t0) oraz wymuszenie x(t); t >= t0

powodują powstanie odpowiedzi y(t); t _>=t0

System analogowy z pamięci jest stacjonarny, jeżeli dla każdego T należącego do  R warunek początkowy v(t0 + T) oraz wymuszenie x(t - T); t >= t0 + T powodują powstanie sygnału wyjściowego

y(t - T); t >= t0 + T

W.

System o stałych skupionych- jeżeli liczba składowych wektora stanu jest skończona, system jest systemem o stałych skupionych, lub systemem skończonego rzędu.

Systemy SLS

-System SLS to system o stałych skupionych, liniowy i stacjonarny