w20 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Metoda Rungego i Kutty (RK)
• Idea metody RK dla równania różniczkowego 1 rzędu
• Metoda RK 1-szego rzędu
• Metoda RK 2-giego rzędu
• Metoda RK 3-ciego rzędu
• Metoda RK 4-tego rzędu
• Metoda RK wyższychrzędów
Carle David Tolmé Runge
Martin Wilhelm Kutta
(1856-1927)
(1867-1944)
Idea metody RK dla równania różniczkowego 1 rzędu
d
y
=
f
(
x
,
y
)
,
y
(
x
0
)
=
y
0
d
x
∑
=
r
x
i
+
1
=
x
i
+
h
,
y
i
+
1
=
y
i
+
h
a
j
k
j
r
– rząd metody
j
1
k
1
=
f
(
x
i
,
y
i
)
∑
−
=
j
1
k
j
=
f
(
x
i
+
h
b
j
,
y
i
+
h
c
js
k
s
)
,
j
=
2
..
r
s
1
a ,
j
,
b
j
c
js
– współczynniki do wyznaczenia
0
0
0
0
0
0
b
2
c
21
0
0
0
0
b
3
c
31
c
32
0
0
0




0
0
b
r
c
r
1
c
r
2

c
r
,
r
−
1
0
a
1
a
2
a
3

a
r
Idea metody RK dla równania różniczkowego 1 rzędu – c.d.
Rozwinięcie funkcji
y
(
x
) w otoczeniu
x
0
w szereg Taylora
y
(
x
)
=
y
(
x
0
)
+
(
x
−
x
0
)
y
′
(
x
0
)
+
1
(
x
−
x
0
)
2
y
′
(
x
0
)
+
...
+
1
(
x
−
x
0
)
r
y
(
r
)
(
x
0
)
+
...
2
r
!
Niech
:
x
=
0
x
(y
)
wtedy
:
x
=
x
=
x
+
h
i
+
1
i
y
y
y
(
x
0
)
=
y
i
,
y
(
r
)
(
x
0
)
=
y
(
r
)
i
y
(
x
)
=
y
(
x
i
+
1
)
=
y
i
+
1
h
x
i ostatecznie:
x
x
y
i
+
1
=
y
i
+
h
y
′
+
1
h
2
y
′
+
...
+
1
h
r
y
(
r
)
(
T
)
2
r
!
W metodzie RK mamy:
r
i
∑
=
y
+
1
=
y
i
+
h
a
j
k
j
(
RK
)
j
1
i
i
i
Idea metody RK dla równania różniczkowego 1 rzędu – c.d.
Podsumowanie idei
1
2
∑
=
r
y
(
j
)
j
y
=
y
+
h
y
′
+
h
y
′
+
...
=
y
+
h
(
T
)
i
+
1
i
i
i
i
2
j
!
j
1
∑
r
∑
r
j
y
i
+
1
=
y
i
+
h
a
j
k
j
=
y
i
+
d
j
h
(
RK
)
j
=
1
j
=
1
Porównując współczynniki stojące przy tych samych potęgach
h
i przy tych samych
pochodnych otrzymujemy związki, jakie muszą spełniać nieznane współczynniki
a
,
b
,
c
j
j
js
Metoda Rungego-Kutty nie wymaga wyznaczania pochodnych występujących
w rozwinięciu funkcji
y
(
x
) w szereg Taylora lecz, poprzez odpowiedni dobór
współczynników , pozwala skonstruować wielomian
r
-tego stopnia ze
względu na
h –
odpowiadający wielomianowi otrzymanemu z szeregu Taylora.
a
j
,
b
j
,
c
js
Im wyższy rząd metody RK (stopień wielomianu ze względu na
h
) tym lepsza
dokładność numerycznego rozwiązania równania różniczkowego.
i

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl