w13 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Aproksymacja
1. Sformułowanie zagadnienia
2. Aproksymacja funkcji dyskretnych
3. Aproksymacja okresowych funkcji ciągłych
Sformułowanie zagadnienia
Aproksymacja polega na zastąpieniu pewnej funkcji f
(
x
)
inną funkcją g
(
x
),
która
w określonym sensie najlepiej przybliża funkcję f
(
x
).
W celu określenia błędu aproksymacji wprowadza się miary odległości pomiędzy
funkcjami
f
(
x
)
i g
(
x
)
Miara odległości w sensie aproksymacji średniokwadratowej
∑
n
2
δ
=
[
f
(
x
k
)
−
g
(
x
k
)]
f
(
x
) – funkcja dyskretna
k
=
0
b
2
δ
=
∫
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
dx
f
(
x
) – funkcja ciągła
a
Funkcję
g
(
x
) dla której liczba δ jest najmniejsza nazywamy funkcją optymalną
w sensie aproksymacji średniokwadratowej
Najczęściej poszukujemy funkcji
g
(
x
) w postaci wielomianu
Aproksymacja funkcji dyskretnej
Aproksymację stosujemy, gdy dysponujemy dużą liczbą punktów obarczonych
pewnym błędem
f
(
x
)
D
:
f
(
x
0
),
f
(
x
1
),
...
f
(
x
n
)
g
(
x
)
m
=
=0
j
Sz
:
g
(
x
)
a
x
m
<
n
j
j
x
Aproksymacja średniokwadratowa funkcji dyskretnej czyli
metoda najmniejszych kwadratów (least squares method)
D
:
f
(
x
k
)
=
y
k
,
k
=
0
...
n
n
=
2
δ
=
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
-
miara odległości
m
k
k
Sz
:
g
(
x
)
=
=
a
x
j
,
m
<
n
k
0
j
j
0
Suma kwadratów błędów w zadanych punktach
2
∑
n
2
∑∑
n
m
j
k
2
S
=
δ
=
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
=
[
y
−
a
x
]
=
S
(
a
,
a
,
a
,
...
a
)
k
k
k
j
0
1
2
m
k
=
0
k
=
0
j
=
0
Warunki występowania minimum funkcji wielu zmiennych
∂
S
=
0
,
i
=
0
..
m
− układ
m
+1 równań na
m
+1
niewiadomych
a
j
,
j
= 0 ..
m
∂
a
i
Jeżeli
m
=
n
to mamy do czynienia z interpolacją, gdyż
S
= δ = 0 dla wyliczonych
a
j
Metoda najmniejszych kwadratów dla funkcji dyskretnej c.d.
Dobór stopnia wielomianu aproksymującego
0
≤
m
<
n
n +
1 liczba punktów
m
– stopień wielomianu
aproksymującego
Dla kolejnych wartości
m
należy obliczyćśredni błąd aproksymacji (średnie
odchylenie kwadratowe) zdefiniowany wzorem
ε
=
b
S
−
a
a, b
– granice przedziału
funkcji dyskretnej
Jeżeli po zwiększeniu
m
nie notuje się wyraźnego obniżenia wartości średniego
błędu to należy przyjąć poprzednią wartość stopnia wielomianu aproksymacyjnego

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl