w12 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Interpolacja
1. Sformułowanie zagadnienia
2. Klasyczne zagadnienie interpolacji – macierz Van der Monde’a
3. Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
4. Interpolacja funkcjami sklejanymi
5. Ogólne zagadnienie interpolacji
6. Wielomian interpolacyjny Taylora
Sformułowanie zagadnienia
Interpolacja polega na znalezieniu wartości funkcji dyskretnej y
(
x
)
dla dowolnego
argumentu x, różnego od węzłów* interpolacji
Dyx yx yx
: ( ), ( ), ... ( )
0
1
n
Sz y x
:( ),
∗ ∗
≠=
x x i
i
, 0.
n
()
Interpolację stosujemy wtedy, gdy nie znamy
analitycznej postaci funkcji
y
(
x
), lecz tylko jej
wartości dla skończonego zbioru argumentów
lub gdy chcemy zastąpić funkcję ciągłą
funkcją typu wielomianowego.
∑
n
wx
=
ax a
i
,
=
?
− wielomian
interpolacyjny
i
i
i
=
0
∗
x
* Węzłami interpolacji nazywamy argumenty x
0
, x
1
, ... x
n
, dla których znane są
wartości funkcji y
(
x
)
yx
∗
()
Klasyczne zagadnienie interpolacji – macierz Van der Monde’a
∑
n
wx
()
= = =
ax y k
i
, 0.
n
Dyx yx yx
0
1
n
k
i k
k
i
=
0
n
∑
:()
=
a x w x
i
, () ()
= =
y

2
0
n
i
k
k
k
a
0
+
a
1
x
0
+
a
2
x
+
...
+
a
n
x
0
=
y
0
i
=
0

2
1
n
a
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
+
...
+
a
n
x
1
=
y
1

yx


#
wx

a
0
+
a
1
x
n
+
a
2
x
2
+
...
+
a
n
x
n
n
=
y
n
A
a
=
b

1
x
0
x
2
0
"
x
0
n


y
0





2
1
n

1
x
x
"
x

y
1
1
1



2
2
n

A
=
,
b
=

y

1
x
x
"
x
2
2
2
x




#
#
#
%
#
#


x
x
x


0
n


2
n
n


y

1
x
n
x
n
"
x


n

a
=
A
−
b
A
i
+
1
j
+
1
=
x
i
j
,
i
,
j
=
0
..
n
b
i
+
1
=
y
i
,
i
=
0
..
n
: ( ), ( ), ... ( )
Sz w x
y x
()
n
()
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
Koncepcja Lagrange’a na przykładzie wielomianu drugiego stopnia
Dyx yx yx
0
1
2
Sz w x a a x a x a
=+ + =
2
, ?
0
1
2
i
wx a x x x x a x x x x a x x x x
( )
= − − + − − + − −
0
(
1
)(
2
)
1
(
0
)(
2
)
2
(
0
)(
1
)

yaxxxx
0
= − −
0
(
0
1
)(
0
2
)
wx y
()
=→ = − −


y a x x x x
yaxxxx
(
(
)
− rozprzęgnięty układ równań
k
k
1
1 1
0
1
2

2
= − −
2
(
2
0
)(
2
1
)
a
=
y
0
,
a
=
y
1
,
a
=
y
2
0
1
2
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
0
1
0
2
1
0
1
2
2
0
2
1
wx y
()
=
(
xxxx
− −
1
)(
2
)
+
y
(
xx xx
− −
0
)(
2
)
+
y
(
xx xx
− −
0
)(
1
)
0
1
2
(
xxxx
− −
)(
)
(
xxxx
− −
)(
)
(
xxxx
− −
)(
)
0
1
0
2
1
0
1
2
2
0
2
1
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a drugiego stopnia
:( ,(,( )
:()
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a
wx y
()
(
xxxx
− −
1
)(
2
)
+
y
(
xx xx
− −
0
)(
2
)
+
y
(
xx xx
− −
0
)(
1
)
0
1
2
(
xxxx
− −
)(
)
(
xxxx
− −
)(
)
(
xxxx
− −
)(
)
0
1
0
2
1
0
1
2
2
0
2
1
Lx
0
()
Lx
1
()
Lx
2
()
Uogólnienie
Lx
()
(
xx xx xx xx xx
− − − −
0
)(
1
)...(
i
−
1
)(
i
+
1
)...(
−
n
)
=
∏
(
xx
−
j
)
i
(
xxxx xx xx xx
− −
)(
)...(
− −
)(
)...(
−
)
(
xx
−
)
i
0
i
1
i
i
−
1
i
i
+
1
i
n
j
=≠
j i
i
j
=
∑
n
- wielomian interpolacyjny
Lagrange’a
wx
()
yL x
()
i i
i
=
0
=
n
=
0,

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl