w11 b, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

>
restart;
Wielomiany Czebyszewa
Rozwiazanie równania rekurencyjnego dla wielomianów Czebyszewa
= −
>
rsolve({T(n+1)=2*x*T(n)-T(n-1),T(0)=1,T(1)=x},{T});

n
1
() 2 ()
n
n
−
1
()




1

n

1

n
(
− + −
1
x
2
x
−
x
2
1
)

−

(
1
x
2
− −
x
−
x
2
1
)

−

x
2
x
2

− +
x
−
1


− −
x
−
1

T
n
()
=
+
x
2
x
2
x
2
x
2
2 −
1(
− +
x
−
1
)
2 −
1(
− −
x
−
1
)



>
assign(%);
>
Tr:=unapply(T(n),n);
Tr
:=

1

n

1

n
(
− + −
1
x
2
x
−
x
2
1
)

−

(
1
x
2
− −
x
−
x
2
1
)

−

x
2
x
2
1
2

− +
x
−
1

1
2

− −
x
−
1

n
→
+
x
2
x
2
x
2
x
2
−
1(
− +
x
−
1
)
−
1(
− −
x
−
1
)
>
Tr(5);
−
− + −
1
x
2
x
−
x
2
1
−
1
x
2
− −
x
−
x
2
1
6
6
2 −
x
2
1(
− +
x
−
x
2
1
)
2 −
x
2
1(
− −
x
−
x
2
1
)
>
normal(Tr(5));
x
(
16
x
4
− +
20
x
2
5
)
x
2
6
x
2
6
(
−
x
−
1
)
(
+
x
−
1
)
>
normal(Tr(5),expanded);
16
x
5
20
x
3
5
x
>
for i from 0 to 10 do normal(Tr(i),expanded); end do;
1
x
−
− +
2
x
2
1
4
x
3
3
x
− +
−
8
x
4
8
x
2
1
16
x
5
− +
20
x
3
5
x
Tx TxTx
+

32
x
6
− + −
48
x
4
18
x
2
1
7
x
56
x
3
112
x
5
64
x
7
− + − +
− + − +
1 2
x
2
160
x
4
256
x
6
128
x
8
− + − +
9
x
120
x
3
432
x
5
576
x
7
256
x
9
− + − + − +
1 0
x
2
400
x
4
1120
x
6
1280
x
8
512
x
10
Postac "sumacyjna"
1
[ ]

=−
n
+
n
∑
Tx
()
(1)
k
x x
n k
−
2
(1 )
−
2
k


n
2
k
k
=
0
>
floor(3/2);floor(4/2);floor(5/2);
1
2
2
>
Ts:=n->expand(add((-1)^k*binomial(n,2*k)*x^(n-2*k)*(1-x^2)^k,k=0
..floor((n+1)/2)));
Ts
→
:=
n
expand


add


()
k
binomial
n
2
kx
(
(
)
−
n
2
k
)
(
−1
x
2
)
k
,
=
k
..
floor +
1
2
n
1
2






>
for i from 0 to 10 do Ts(i); end do;
1
x
−
2
x
2
1
4
x
3
3
x
− +
−
8
x
4
8
x
2
1
16
x
5
20
x
3
5
x
− + −
− +
32
x
6
48
x
4
18
x
2
1
7
x
56
x
3
112
x
5
64
x
7
− + − +
− + − +
1 2
x
2
160
x
4
256
x
6
128
x
8
− + − +
9
x
120
x
3
432
x
5
576
x
7
256
x
9
− + − + − +
1 0
x
2
400
x
4
1120
x
6
1280
x
8
512
x
10
>
Postac trygonometryczna wielomianów Czebyszewa
( ) cos ( arccos ) ,
0,1,...
arccos
x
>
for i from 0 to 10 do Tt(i); end do;
1
x
Tt
→
n
cos
n
(
()
)
cos 2
(
arccos
x
( )
)
cos 3
(
arccos
x
( )
)
cos 4
(
arccos
x
( )
)






-1
0


n
Tx n x
= =
>
Tt:=n->cos(n*arccos(x));
:=
cos 5
arccos
x
)
cos 6
arccos
x
)
cos 7
arccos
x
)
cos 8
arccos
x
)
cos 9
arccos
x
)
arccos
x
>
for i from 0 to 5 do is(Tr(i)=Tt(i)) end do;
true
true
false
false
false
false
>
plot([seq(Tr(i),i=0..10)],x=-1..1);
( )
)
>
plot([seq(Tt(i),i=0..10)],x=-1..1);
>
plot(Tr(10)-Tt(10),x=-1..1);
(
( )
(
( )
(
( )
(
( )
(
( )
cos 10
(
Wzór Rodriguesa
(1) 1
x
d
n
( )
2
n
−
Tx
( )
=
1
−
x n
,
=
0,1,...
⋅⋅⋅ ⋅ −
>
TR:=n->expand((-1)^n*sqrt(1-x^2)/doublefactorial(2*n-1)*(diff((1
-x^2)^(n-1/2),x$n)));
1 3 5 ... (2 1)
ndx
n

()
-1
n
−1
x
2



d
n
x
n
(
−1
x
2
)
(
−
n
/12
)


d

TR
→
:=
n
expand

doublefactorial −
(
2
n
1
)

>
TR(0):=1;
TR 0 1
>
for i from 0 to 10 do TR(i); end do;
1
x
−
()
:=
2
x
2
1
4
x
3
3
x
− +
−
8
x
4
8
x
2
1
16
x
5
20
x
3
5
x
− + −
− +
32
x
6
48
x
4
18
x
2
1
64
x
7
112
x
5
56
x
3
7
x
− + − +
− + −
128
x
8
256
x
6
160
x
4
32
x
2
1
256
x
9
576
x
7
432
x
5
120
x
3
9
x
− + − + −
− + − +
512
x
10
1280
x
8
1120
x
6
400
x
4
50
x
2
1
>
for i from 0 to 10 do is(Tr(i)=TR(i)) end do;
true
true
true
true
true
n
− −
2
2
n



true
true
true
true
true
true
>
with(orthopoly);
Warning, the name T has been redefined
[
GHLPTU
,,,,,
]
>
T(10,x);
512
x
10
− + − + −
1280
x
8
1120
x
6
400
x
4
50
x
2
1
>
for i from 0 to 10 do is(T(i,x)=TR(i)) end do;
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
Wlasnosci ortogonalizacyjne wielomianów Czebyszewa
1
mn
TxTx dx mn
x
1

0, dla
≠
∫
() ()
= π
,dla
= =
0
m n
2
1
−

−
1
π
,dla
mn
= ≠
0

2
>
n:=5;
n
5
:=
>
A:=Matrix(n):
>
for i from 0 to n-1 do
for j from 0 to n-1 do
A[i+1,j+1]:=int(T(i,x)*T(j,x)/sqrt(1-x^2),x=-1..1);
end do;
end do;
>
A;


zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl