w11 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Układy funkcji ortogonalnych
1. Definicja i ogólne własności układów funkcji ortogonalnych
2. Funkcje trygonometryczne
3. Wybrane wielomiany ortogonalne
• Wielomiany Legendre’a
P
n
(
x
)
• Wielomiany Czebyszewa
T
n
(
x
),
U
n
(
x
)
• Wielomiany Laguerre’a
L
n
(
x
)
• Wielomiany Hermite’a
H
n
(
x
)
4. Wzory definiujące wielomiany ortogonalne
5. Miejsca zerowe wielomianów ortogonalnych
Definicja i ogólne własności układów funkcji ortogonalnych
Układ (ciąg) funkcji
f
n
(
x
),
n
= 0, 1, 2, ... nazywamy układem ortogonalnym w
przedziale (
a
,
b
) z wagą
w
(
x
), jeśli
b
∫
f
m
(
x
)
f
n
(
x
)
w
(
x
)
dx
=
0
dla
m
≠
n
a
Normą funkcji
f
n
(
x
) w przedziale (
a
,
b
) nazywamy liczbę
b
f
n
=
∫
f
n
(
x
)
f
n
(
x
)
w
(
x
)
dx
a
Jeśli norma funkcji
f
n
(
x
) jest równa 1 dla każdego
n
to układ nazywa się
układem ortonormalnym
Funkcje trygonometryczne
Ciąg funkcji
1
cos
(
n
x
),
sin
(
n
x
),
...
n
=
1
2
...
jest ortogonalny w przedziale (-π, π) z wagą
w
(
x
) = 1, bo
π
π
∫
1
⋅
cos
(
n
x
)
dx
=
0
,
n
=
1
2
...
∫
1
⋅
sin
(
n
x
)
dx
=
0
,
n
=
1
2
...
−
π
−
π
π
π
∫
cos
(
m
x
)
cos
(
n
x
)
dx
=
0
,
m
≠
n
∫
sin
(
m
x
)
sin
(
n
x
)
dx
=
0
,
m
≠
n
−
π
−
π
π
∫
cos
(
m
x
)
sin
(
n
x
)
dx
=
0
,
m
≠
n
i
m
=
n
−
π
π
π
π
∫
1
2
dx
=
2
π
,
∫
cos
2
(
n
x
)
dx
=
π
,
∫
sin
2
(
n
x
)
dx
=
π
−
π
−
π
−
π
Funkcje trygonometryczne
f
0
(
x
)
=
1
f
1
(
x
)
=
cos
x
()
f
2
(
x
)
=
sin
x
()
f
3
(
x
)
=
cos 2
x
( )
f
4
(
x
)
=
sin 2
x
( )
f
5
(
x
)
=
cos 3
x
( )
f
6
(
x
)
=
sin 3
x
( )
f
7
(
x
)
=
cos 4
x
( )
f
8
(
x
)
=
sin 4
x
( )
f
9
(
x
)
=
cos 5
x
( )
Wielomiany Legendre’a
P
n
(
x
)
Wzór definiujący (Rodriguesa)
1
d
n
2
n

d
0
f
(
x
)

P
(
x
)
=
( )
x
−
1
,
n
=
0
...
=
f
(
x
)
n
2
n
n
!
d
x
n
d
x
0


Wielomiany Legendre’a są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego
2
d
2
P
n
(
x
)
dP
n
(
x
)
(
x
−
1
+
2
x
−
n
(
n
+
1
P
(
x
)
=
0
n
d
x
2
d
x
Wielomiany Legendre’a są ortogonalne w przedziale (-1,1) z wagą
w
(
x
) = 1
1

0
dla
m
≠
n
−
P
(
x
)
P
(
x
)
dx
=
2
m
n
,
dla
m
=
n

1
2
n
+
1
Wielomiany Legendre’a spełniają następujące równanie rekurencyjne
P
(
x
)
=
2
n
+
1
x
P
(
x
)
−
n
P
(
x
)
,
n
=
1
2
...
n
+
1
n
n
−
1
n
+
1
n
+
1



 

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl