w10 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Rozwiązywanie układów równań liniowych
Metody przybliżone (iteracyjne):
metoda Jacobiego
metoda Gaussa-Seidla
Sformułowanie zagadnienia


ax ax ax b
ax ax ax b
11 1
+ ++ =
12 2
...
...
1
nn
1



+ ++ =
21 1
+ ++ =
22 2
2
nn
2
#

ax ax ax b
n
11
n
2 2
...
nn n
n



x
= − ⋅ − −
1
(
b x a x a x
0
...
)
1
a
1
1
12 2
1
nn
11




x
= − − ⋅ −
1
(
b a x
0...
x a x
)
2
a
2
21 1
2
2
nn
22
#
x
= −− −⋅
1
(
b a x a x
... 0
x
)

n
n
n
11
n
2 2
n
a
nn
1

∑
n

x
= −
b a x i
,
=
, ,...,
n
i

i
i j j

a


j
=
≠
1
ii


ji



Metoda Jacobiego
1

n

∑
x
= −
b a x i
,
=
1, 2,...,
n


i
a
i
i j j


j
=
≠
1
ii


ji



x
()
k
+
= − ⋅ −
1
(
b x a x
0
()
k
()
k
...
−
a x
k
nn
()
)
1
a
1
1
12 2
1
11




x bax x ax
a
()
k
+
= − − ⋅ −
1
(
()
k
0
()
k
...
k
nn
()
)
2
2
21 1
2
2
22
#
x bax ax x
a
()
k
+
= − −
1
(
()
k
()
k
... 0
− ⋅
()
k
)

n
n
n
11
n
2 2
n
nn
1

n

∑
x
()
k
+
= −
b a x
()
k
,
i
=
1, 2,..., ,
n k
=
0,1, 2,...
i

i
i j j

a


j
=
≠
1
ii


ji





Warunek zbieżności metody
Warunek wystarczający zbieżności procesu obliczeniowego
∑
a
>
a i
,
=
1, 2,...,
n
ii
i j
j
ji
1
Układ równań spełniający powyższy warunek zbieżności nazywamy układem z
dominującymi elementami na przekątnej głównej
n
=
≠
Przykład liczbowy

−+ + =
20 4 3 19
3 0 2 3
4
+ −=

x
=− +
19
1
x
3
x
1
2
3
1
20
5
2
20
3


→


x
=+ −
83
3
x x
1
1
2
3
2
40
40
1
20
3

+ + =
3
20
70

x
=− −
7
1
x x
3
1
2
3
3
25
1
0
2

x
1
x
2
x
3

0
0
0
0.9500000000
2.075000000
3.500000000
1.060000000
1.971250000
2.998750000
1.005562500
2.004562500
2.992312500
0.9979343750
2.000801563
2.998203125
0.9995701562
1.999934922
3.000292891
1.000056949
1.999953117
3.000095731
1.000023736
1.999999484
2.999995642
0.9999994495
2.000001998
2.999995330
0.9999988999
2.000000192
2.999999810
0.9999999331
1.999999926
3.000000191
1.000000043
1.999999985
3.000000024

1.000000007
2.000000002
2.999999993

xxx
x x x
xx x



zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl