w08 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Rozwiązywanie układów równań nieliniowych
1. Metody geometryczne
2. Metoda iteracyjna Newtona-Raphsona
3. Komendy w
Maple’u
Metoda graficzna rozwiązywania układu dwóch równań nieliniowych

f
1
(
x
1
,
x
2
)
=
0
f
(
x
,
x
)
=
0
2
1
2

x
1
sinh(
x
1
x
2
)
−
1
=
0
2
9

2
1
2
2
2
1
5
2
(
x
+
x
)
−
2
x
+
2
x
x
−
=
0
2
1
10
> f[1]:=x[1]*sinh(x[1]*x[2])-1/2;
> f[2]:=(x[1]^2+x[2]^2)^2-2*(x[1]^2-x[1]*x[2]^5)-9/10;
> implicitplot([f[1]=0,f[2]=0],x[1]=-2..2,x[2]=-2..2);

Metoda graficzna rozwiązywania układu trzech równań nieliniowych

f
1
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
0
f
(
x
,
x
,
x
)
=
0
2
1
2
3

f
(
x
,
x
,
x
)
=
0
3
1
2
3

x
2
−
e
−
x
x
3
=
0

2
1
2
2
2
3
x
−
x
+
x
−
1
=
0

2
2
2
(
x
1
−
2
+
(
x
2
−
2
+
(
x
−
2
)
−
36
=
0
> f[1]:=x[1]^2-x[2]^2+x[3]^2-1;
> f[2]:=(x[1]-2)^2+(x[2]-2)^2+(x[3]-2)^2-36;
> f[3]:=x[2]-exp(-x[1]*x[3]);
> implicitplot3d([f[1]=0,f[2]=0,f[3]=0],x[1]=-5..8,
x[2]=- 5..8,x[3]=-5..8);

1
3
Wzór Taylora
Funkcja dwóch zmiennych
f
=
f
(
x
1
,
x
2
)
Rozwinięcie funkcji
f
(
x
1
,x
2
) według potęg różnic:
x
1
–
a
1
,
x
2
–
a
2
f
(
x
,
x
)
=
f
(
a
,
a
)
+
(
x
−
a
)
∂
f
+
(
x
−
a
)
∂
f
+
...
1
2
1
2
1
1
x
=
a
2
2
x
=
a
d
x
1
1
dx
1
1
1
2
x
=
a
x
=
a
2
2
2
2
Dla
x
1
=
a
1
+
h
1
i
x
2
=
a
2
+
h
2
mamy
f
(
a
+
h
,
a
+
h
)
=
f
(
a
,
a
)
+
h
∂
f
+
h
∂
f
+
...
1
1
2
2
1
2
1
x
=
a
2
x
=
a
d
x
1
1
dx
1
1
1
2
x
=
a
x
=
a
2
2
2
2
gdzie
h
1
i
h
2
oznaczają odpowiednie przyrosty argumentów
Wzór Taylora c.d.
Układ funkcji dwóch zmiennych
f
=
f
(
x
,
x
)
1
1
1
2
f
2
=
f
2
(
x
1
,
x
2
)
Rozwinięcie obu funkcji według potęg różnic:
x
1
–
a
1
,
x
2
–
a
2
z przyrostami
h
1
i
h
2
f
(
a
+
h
,
a
+
h
)
=
f
(
a
,
a
)
+
h
∂
f
1
+
h
∂
f
1
+
...
1
1
1
2
2
1
1
2
1
x
=
a
2
x
=
a
d
x
1
1
dx
1
1
1
2
x
=
a
x
=
a
2
2
2
2
f
(
a
+
h
,
a
+
h
)
=
f
(
a
,
a
)
+
h
∂
f
2
+
h
∂
f
2
+
...
2
1
1
2
2
2
1
2
1
x
=
a
2
x
=
a
d
x
1
1
dx
1
1
1
2
x
=
a
x
=
a
2
2
2
2
Zapis macierzowy

∂
f
∂
f


1
1

x
=
a
x
=
a

∂
x
1
1
∂
x
1
1


f
(
a
+
h
,
a
+
h
)


f
(
a
,
a
)


h

1
2
1
1
1
2
2
x
=
a
x
=
a
1
1
1
2
=
+
2
2
2
2
⋅
+
..








f
(
a
+
h
,
a
+
h
)
f
(
a
,
a
)
h


2
1
1
2
2
2
1
2
∂
f
2
∂
f
2
2


x
=
a
x
=
a

∂
x
1
1
1
∂
x
2
1
1


x
=
a
x
=
a

2
2
2
2
f
(
a
+
h
)
=
f
(
a
)
+
A
(
a
)
⋅
h
+
...
A
– macierz Jacobiego
f
=

f
1

,
a
=

a
1

,
h
=

h
1


zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl