w07 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Rozwiązywanie numeryczne równań nieliniowych
Wybrane metody znajdowania miejsc zerowych
funkcji jednej zmiennej
1. Metoda połowienia przedziału (bisekcji)
2. Metoda iteracji prostej
3. Metoda Newtona (stycznych)
4. Metoda Halley’a
Metoda połowienia przedziału (bisekcji)
Z:
f
(
x
) – funkcja ciągła w przedziale domkniętym [a, b]
f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
<
0
Sz: pierwiastek
f
(
x
) = 0 z dokładnością
eps
f
(
x
)
x
=
a
+
b
×
x
x
x
f
(
x
1
<
)
0
1
2
a
b
f
(
x
)
>
0
2
jeżeli
x
n
−
x
n
−1
<
eps
→
x
n
- przybliżona wartość pierwiastka
Metoda iteracji prostej
Z:
f
(
x
) – funkcja ciągła w przedziale domkniętym [a, b]
f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
<
0
Sz: pierwiastek
f
(
x
) = 0 z dokładnością
eps
f
(
x
)
=
0
→
x
=
g
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
x
→
x
x
a
∗
b
a
x
∗
b
x
Zamiana równania
f
(
x
) = 0 na
x
=
g
(
x
) nie zawsze jest procesem jednoznacznym !

x
=
x
3
−
5
x
3
−
x
−
5
=
0
→

x
=
3
x
+
5
5


x
=

x
2
−
1

Zbieżność metody iteracji prostej
∆ =−→=∆
k
*
k
k
*
k
∆ =− → =∆=
+
*
k
+
1
x x x gx
k
+
1
*
k
+
( )
k
gx gx xgx
k
= −∆ +
( *)
k
′
( *) ...
x x gx
−∆= −∆
k
+
1
( *)
x gx
k
′
( *)
xgx
∆ = ∆
− zbieżność liniowa
x gx x
k
+
′
(*)
k
gx
(*) 1
− warunek zbieżności
xxx xx x
x x x
k
1
1
( )
*
*( )
=
1
′
<
Metoda Newtona (stycznych)
Z:
f
(
x
) – funkcja ciągła w przedziale domkniętym [a, b]
f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
<
0
Sz: pierwiastek
f
(
x
) = 0 z dokładnością
eps
f
(
x
)
a
x
x
b
=
x
x
x
k
+1
=
x
k
+
h
k
x
=
b
– pierwsze przybliżenie
Warunki zakończenia obliczeń:
jeżeli
f
(
x
n
)
⋅
f
(
x
n
−
eps
)
<
0
→
x
n
- przybliżona wartość pierwiastka
jeżeli
x
n
−
x
n
−1
<
eps
→
x
n
- przybliżona wartość pierwiastka

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl