|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Błędy obliczeń numerycznych
1. Podstawowe definicje 2. Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych 3. Propagacja błędów 4. Źródła błędów 5. Uwarunkowanie numeryczne zagadnień 6. Obliczenia numeryczne w Maple’u 7. Zalecenia Podstawowe definicje x ~ − wartość dokładna wartość przybliżona x − 1. Błąd przybliżenia ∆ ∆ x def x − ~ 2. Błąd bezwzględny ∆ ∆ x def x − ~ x 3. Błąd względny ε x def ∆ x ε = , x ≠ 0 x x 4. Liczba cyfr znaczących ( d ) -największą dodatnia liczba całkowita, spełniająca nierówność ε 10 x < 1 − d 2 = x = Przykład ilustrujący x = π , x = 3 1415 ( π = 3.14159265 3589793238 462643 .. ) 1. Błąd przybliżenia ∆ x = π − 3 ≈ 1415 0 .000092654 2. Błąd względny ε= ≈ ∆ x x 0.00002949268419 x 3. Liczba cyfr znaczących x = 1415 → π − 3 1415 < 1 10 − d → d ∈ ( −∞ , 4.22925762 7) → d = 4 π 2 x = 1416 → π− 3.1416 1 10 < →∈−∞ − d d ( , 5.33004470 0) →= d 5 π 2 ~ 3 3 Błędy wyników operacji matematycznych (na podstawie definicji) Dane: x , x 2 -wartości dokładne -wartości przybliżone ~ ~ x , x 2 Szukane: błędy przybliżenia i błędy względne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ∆ x 1 = x − x 1 ~ ∆ x 2 = x 2 − x 2 Błąd sumy s = x + x , ~ = x + x , ∆ s = s − ~ s = x + x − x − x 1 2 1 2 1 2 1 2 ∆ s = ∆ x 1 + ∆ x 2 ε = ∆ s = ∆ x 1 + ∆ x 2 s s x + x 1 2 Błąd różnicy r = x − x 2 , ~ = x 1 − x 2 , ∆ r = r − ~ = x − x 2 − x + x 2 ∆ r = ∆ x 1 − ∆ x 2 ε = ∆ r = ∆ x 1 − ∆ x 2 r r x − x 1 2 1 1 ~ 1 s ~ ~ ~ ~ r ~ ~ r ~ ~ 1 1 1 Błędy operacji matematycznych c.d. Błąd iloczynu m = x 1 x 2 , m ~ = x 1 x 2 , ∆ m = m − m = x 1 x 2 − x 1 x 2 ∆ m = x 1 x 2 − ( x 1 − ∆ x 1 )( x 2 − ∆ x 2 ) = x 1 ∆ x 2 + x 2 ∆ x 1 − ∆ x 1 ∆ x 2 ε = ∆ m = x 2 ∆ x 1 + x 1 ∆ x 2 − ∆ x 1 ∆ x 2 = ε + ε − ε ε ≈ ε + ε m x x x x x x m x x 1 2 1 2 1 2 1 2 Błąd ilorazu x x x x q = 1 , ~ = 1 , ∆ q = q − q ~ = 1 − 1 ~ ~ x x x x 2 2 2 2 ∆ q = x 2 ∆ x 1 − x 1 ∆ x 2 x ( x − ∆ x ) 2 2 2 ε = ∆ q = x 2 ∆ x 1 − x 1 ∆ x 2 ≈ x 2 ∆ x 1 − x 1 ∆ x 2 = ε − ε q x x q x ( x − ∆ x ) x x 1 2 1 2 2 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ q |
Menu
|