uog wsp walc, Budownictwo, Semestr 3

1
Wydział:WILi,Budownictwo,sem.2
drJolantaDymkowska
Uogólnionewspółrz¦dnewalcowe
Niech
a
i
b
b¦d¡stałymidodatnimi.Współrz¦dne(
r,',z
),dlaktórychzwi¡zkizewspółrz¦dnymi
kartezja«skimi(
x,y,z
)s¡danewzorami:
8
<
x
=
ar
cos
' r
2
[0
,
+
1
)
y
=
br
sin
' '
2
[0
,
2
]
z
=
z
:
z
2
R
nazywamy
uogólnionymiwspółrz¦dnymiwalcowymi
.
Przekształcenie
(
r,',z
)
−!
(
x , y ,z
)
gdzie
x
=
ar
cos
' y
=
br
sin
' z
=
z
nazywamy
uogólnionymprzekształceniemwalcowym
.
Jakobianuogólnionegoprzekształceniawalcowegojestrówny:
@x
@r
@x
@'
@x
@z
a
cos
'
−
ar
sin
'
0
b
sin
' br
cos
'
0
0 0 1
J
(
r,',z
)=
@y
@r
@y
@'
@y
@z
=
=
@z
@r
@z
@'
@z
@z
=
a
cos
'
−
ar
sin
'
b
sin
' br
cos
'
=
abr
cos
2
'
+
abr
sin
2
'
=
abr.
Całkapotrójnawuogólnionychwspółrz¦dnychwalcowych
TwierdzenieNiechobszar
V
0
danywuogólnionychwspółrz¦dnychwalcowych(zestałymi
a
i
b
)b¦dzieregularnyorazniechfunkcja
f
(
x,y,z
)b¦dzieciagłanaobszarze
V
b¦d¡cymobrazem
V
0
wuogólnionymprzekształceniuwalcowym.Wówczas
Z Z
Z
Z Z
Z
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
f
(
ar
cos
', br
sin
', z
)
·
abr drd'dz.
V
V
0
Przykład
Znale¹¢współrz¦dne±rodkaci¦»ko±cijednorodnejbryłyograniczonejparaboloid¡
x
2
+2
y
2
=4
z
ipłaszczyzn¡
z
=2.
Rozwi¡zanie:
Bryła
V
jestobszaremwprzestrzeninormalnymwzgl¦dempłaszczyznyOXY,tj.
V
:
(
(
x,y
)
2 D
x
2
4
+
y
2
2
6
z
6
2
 2
gdzieobszarpłaski
D
jestograniczonykrzyw¡,b¦d¡c¡rzutemnapłaszczyzn¦OXYkrzywej
powstałejzprzeci¦ciaparaboloidy
x
2
+2
y
2
=4
z
zpłaszczyzn¡
z
=2,tj.elips¡orównaniu:
x
2
8
+
y
2
4
=1
.
2
r
cos
' r
2
[0
,
+
1
)
y
=2
r
sin
' '
2
[0
,
2
]
z
=
z z
2
R
Jakobian,odpowiadaj¡cytakiejzamianiezmiennych,jestrówny:
J
=4
p
2
r
,aobszar
V
0
,którego
obrazemwuogólnionymprzekształceniuwalcowymjestobszar
V
,opiszesi¦wnastepujacysposób:
8
<
x
=2
p
:
8
<
0
6
'
6
2
0
6
r
6
1
2
r
2
6
z
6
2
V
0
:
:
Przyst¦pujemydoobliczaniaposzczególnychcałekpotrójnych:
•
Masabryły(jednorodnej,przyjmujemywi¦c,»eg¦sto±¢masyjeststałarówna1)
V
:
Z Z
Z
Z Z
Z
p
p
Z
2
1
Z
2
Z
M
=
dxdydz
=
4
2
r drd'dz
=4
2
d'
dr
r dz
=
V
V
0
0
0
2
r
2
p
2
1
Z
p
2
1
Z
p
2
r
2
2
−
r
4
!
r
=1
=4
2
d'
dr r z
|
z
=2
z
=2
r
2
=8
2
d'
(
r
−
r
3
)
dr
=8
2
d'
=
4
0
0
0
0
0
r
=0
p
Z
2
p
=2
2
d'
=4
2
0
•
Momentstatycznywzgl¦dempłaszczyznyOXY:
Z Z
Z
Z Z
Z
p
p
Z
2
1
Z
2
Z
M
XY
=
z dxdydz
=
4
2
r z drd'dz
=4
2
d'
dr
r z dz
=
V
V
0
0
0
2
r
2
p
2
1
Z
dr r
z
2
2
z
=2
p
Z
2
1
Z
p
2
r
2
2
−
r
6
!
r
=1
=4
2
d'
=8
2
d'
(
r
−
r
5
)
dr
=8
2
d'
=
6
0
0
z
=2
r
2
0
0
0
r
=0
=
8
3
p
Z
2
d'
=
16
3
p
2
2
0
•
Momentstatycznywzgl¦dempłaszczyznyOXZ:
Z Z
Z
Z Z
Z
p
p
Z
2
1
Z
2
Z
M
XZ
=
y dxdydz
=
4
2
r
2
r
sin
' drd'dz
=8
2
d'
dr
r
2
sin
' dz
=
V
V
0
0
0
2
r
2
Obliczaj¡czatemposzczególnecałkipotrójne,wprowadzimyuogólnionewspółrz¦dnewalcowedane
wzorami:
Z
Z
Z
Z
Z
3
p
2
1
Z
z
=2
z
=2
r
2
=16
p
2
1
Z
=8
2
d'
dr r
2
sin
' z
2
d'
sin
'
(
r
2
−
r
4
)
dr
=
0
0
0
0
p
2
r
3
3
−
r
5
!
r
=1
=
32
15
p
Z
2
=16
2
d'
sin
'
2
sin
' d'
=0
5
0
r
=0
0
•
Analogiczniemomentstatycznywzgl¦dempłaszczyznyOYZ:
M
Y Z
=0.
•
Współrz¦dne±rodkaci¦»ko±ci:
x
c
=
M
Y Z
M
=0
y
c
=
M
XZ
M
=0
z
c
=
M
XY
4
p
2
=
4
p
2
M
=
3
Uogólnionewspółrz¦dnesferyczne
Niech
a, b
i
c
b¦d¡stałymidodatnimi.Współrz¦dne(
r,',
),dlaktórychzwi¡zkize
współrz¦dnymikartezja«skimi(
x,y,z
)s¡danewzorami:
8
<
x
=
ar
cos
'
cos
y
=
br
sin
'
cos
z
=
cr
sin
:
nazywamy
uogólnionymiwspółrz¦dnymisferycznymi
.
Przykład
Równanieelipsoidyopółosiach
a, b
i
c
:
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1
zapisa¢wuogólnionychwspółrz¦dnychsferycznych.
Rozwi¡zanie:
Dorównaniaelipsoidy
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1wstawiamyzale»no±ci
x
=
ar
cos
'
cos
,
y
=
br
sin
'
cos
i
z
=
cr
sin
:
a
2
r
2
cos
2
'
cos
2
a
2
+
b
2
r
2
sin
2
'
cos
2
b
2
+
c
2
r
2
sin
2
c
2
=1
r
2
cos
2
'
+sin
2
'
cos
2
+
r
2
sin
2
=1
r
2
cos
2
+sin
2
=1
r
2
=1
.
stałymi
a, b
i
c
)maposta¢:
r
=1dla
'
2
[0
,
2
)i
2
h
−
2
,
2
i
.
Przekształcenie
(
r,',
)
−!
(
x , y ,z
)
gdzie
x
=
ar
cos
'
cos
y
=
br
sin
'
cos
z
=
cr
sin
Z
Z
Z
16
3
x
2
Zatemrównanieelipsoidyopółosiach
a, b
i
c
wuogólnionychwspółrz¦dnychsferycznych(ze
4
nazywamy
uogólnionymprzekształceniemsferycznym
.
Jakobianuogólnionegoprzekształceniasferycznegojestrówny:
J
=
a
cos
'
cos
−
ar
sin
'
cos
−
ar
cos
'
sin
b
sin
'
cos
br
cos
'
cos
−
br
sin
'
sin
c
sin
0
cr
cos
=
abcr
2
cos
Całkapotrójnawuogólnionychwspółrz¦dnychsferycznych
TwierdzenieNiechobszar
V
0
danywuogólnionychwspółrz¦dnychsferycznych(zestałymi
a, b
i
c
)b¦dzieregularnyorazniechfunkcja
f
(
x,y,z
)b¦dzieciagłanaobszarze
V
b¦d¡cym
obrazem
V
0
wuogólnionymprzekształceniusferycznych.Wówczas
Z Z
Z
Z Z
Z
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
f
(
ar
cos
'
cos
, br
sin
'
cos
, cr
sin
)
·
abcr
2
cos
drd'd .
V
V
0
Przykład
Stosuj¡cuogólnionewspółrz¦dnesferyczneobliczobjeto±¢bryłyograniczonejelipsoid¡
opółosiach
a, b
i
c
.
Rozwi¡zanie:
Zpoprzedniegoprzykładuwiemy,»eelipsoidaopółosiach
a, b
i
c
maw
uogólnionychwspółrz¦dnychsferycznych(zestałymi
a, b
i
c
)równanie
r
=1dla
'
2
[0
,
2
)i
i
.St¡dwprowadzaj¡cuogólnioneprzekształceniesferycznemamy:
8
<
0
6
'
6
2
−
2
6
6
2
0
6
r
6
1
V − V
0
:
:
Zatemobj¦to±¢bryły
V
ograniczonejelipsoid¡opółosiach
a, b
i
c
jestrówna:
Z Z
Z
Z Z
Z
|V|
=
dxdydz
=
abcr
2
cos
drd'd
=
V
V
0
0
@
1
A
·
0
Z
2
1
2
Z
0
1
Z
1
=
@
d'
A
·
cos
d
@
abcr
2
dr
A
=
0
−
2
0
3
r
3
=
−
2
·
abc
r
=1
=
4
2
·
sin
|
=
2
3
abc.
r
=0
2
h
−
2
,
2
 

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl