uog wsp bieg, Budownictwo, Semestr 3

1
Wydział:WILi,BudownictwoiTransport,sem.2
drJolantaDymkowska
Uogólnionewspółrz¦dnebiegunowe
Niech
a
i
b
b¦d¡stałymidodatnimi.Współrz¦dne(
r,'
),dlaktórychzwi¡zkizewspółrz¦dnymi
kartezja«skimi(
x,y
)s¡danewzorami:
(
x
=
ar
cos
' r
2
[0
,
+
1
)
y
=
br
sin
' '
2
[0
,
2
]
nazywamy
uogólnionymiwspółrz¦dnymibiegunowymi
.
Przykład
Równanieelipsyopółosiach
a
i
b
b
2
=1
zapisa¢wuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych.
Rozwi¡zanie:
Dorównaniaelipsy
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
y
2
b
2
=1wstawiamyzale»no±ci
x
=
ar
cos
'
i
y
=
br
sin
'
:
a
2
+
b
2
r
2
sin
2
'
b
2
=1
r
2
cos
2
'
+sin
2
'
=1
r
2
=1
.
Zatemrównanieelipsyopółosiach
a
i
b
wuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych(zestałymi
a
i
b
)maposta¢:
r
=1dla
'
2
[0
,
2
).
Przekształcenie
(
r,'
)
−!
(
x
(
r,'
)
,y
(
r,'
))
gdzie
x
(
r,'
)=
ar
cos
' y
(
r,'
)=
br
sin
'
nazywamy
uogólnionymprzekształceniembiegunowym
.
Jakobianuogólnionegoprzekształceniabiegunowegojestrówny:
@r
(
r,'
)
@x
@'
(
r,'
)
=
a
cos
'
−
ar
sin
'
b
sin
' br
cos
'
=
J
(
r,'
)=
@r
(
r,'
)
@y
@'
(
r,'
)
abr
cos
2
'
+
abr
sin
2
'
=
abr.
Całkapodwójnawuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych
TwierdzenieNiechobszar
D
0
danywuogólnionychwspółrz¦dnychbiegunowych(zestałymi
a
i
b
)b¦dzieregularnyorazniechfunkcja
f
(
x,y
)b¦dzieciagłanaobszarze
D
b¦d¡cymobrazem
D
0
wuogólnionymprzekształceniubiegunowym.Wówczas
x
2
a
2
r
2
cos
2
'
@x
@y
 2
Z
Z
Z
Z
f
(
x,y
)
dxdy
=
f
(
ar
cos
',br
sin
'
)
·
abrdrd'.
D
D
0
Przykład
Stosuj¡cuogólnionewspółrz¦dnebiegunoweobliczpoleobszarupłaskiegoograniczonego
elips¡opółosiach
a
i
b
.
Rozwi¡zanie:
Zpoprzedniegoprzykładuwiemy,»eelipsaopółosiach
a
i
b
mawuogólnionych
współrz¦dnychbiegunowych(zestałymi
a
i
b
)równanie
r
=1dla
'
2
[0
,
2
).St¡dwprowadzaj¡c
uogólnioneprzekształceniebiegunowemamy:
(
0
6
'
6
2
0
6
r
6
1
D − D
0
:
Zatempoleobszaru
D
ograniczonegoelips¡opółosiach
a
i
b
jestrówne:
Z
Z
Z
Z
0
2
1
0
1
Z
1
|D|
=
dxdy
=
abrdrd'
=
@
d'
A
·
@
abrdr
A
=
D
D
0
0
0
2
r
2
2
·
ab
r
=1
=
ab.
r
=0
Z

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl