weryfikacja, Technika Rolnicza, Rok 3, semestr 7, Statystyka

Zadanie

Ustalono na podstawie analizy kosztów, że będzie się opłacać się wybudowanie motelu przy trasie komunikacyjnej, jeśli będzie przejeżdżać tą trasą więcej niż 800 samochodów dziennie. W losowe wybrane dni roku liczono ilość przejeżdżających samochodów. Otrzymano następujące rezultaty: 792, 810, 820, 886, 910, 840, 1025, 790, 972, 830, 810, 780, 815, 954, 810, 930, 820. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę o opłacalności podejmowanej inwestycji.

Trochę teorii:

Zadanie jest ze statystki matematycznej. Statystyka matematyczna zajmuje się metodami wnioskowania statystycznego, które polegają na tym, że na podstawie wyników uzyskanych z próby (nasz próba to te losowo wybrane dni w których badamy ilość przejeżdżających samochodów) formułujemy wnioski o całej zbiorowości.

Wnioskowanie statystyczne obejmuje estymację i weryfikację hipotez statystycznych.

Nas interesuje weryfikacja hipotez statystycznych, która polega na tym, że sprawdzamy pewne założenia wysunięte w odniesieniu do parametrów lub rozkładów populacji generalnej na podstawie wyników próby – w naszym przypadku to hipoteza o opłacalności inwestycji.

Gdybyś jeszcze nie rozróżnił populacji od próby to dam Ci przykład:

Mamy wszystkich uczniów w jednej szkole – to jest populacja.

Natomiast uczniowie jednej konkretnej klasy to próbka.

Obserwując naszą klasę będziemy się starać wyniki z tej obserwacji przenieść na uczniów całej szkoły. Tak to wygląda z grubsza.

Weryfikację hipotez statystycznych przeprowadza się stosując testy istotności.

Testy istotności - jest to taki rodzaj testów, w których na podstawie wyników próby losowej podejmuje się jedynie decyzje odrzucenia hipotezy sprawdzanej lub stwierdza się, że brak jest podstaw do jej odrzucenia.

Wyróżniamy:

- parametryczne testy istotności (dotyczące wartości parametrów rozkładu)

- nieparametryczne testy istotności (pozostałe testy)

Nas będą interesować parametryczne testy istotności (jeden z poniższych):

test dla wartości średniej populacji generalnej, test dla dwóch średnich, test dla wskaźnika struktury (procentu), test dla dwóch wskaźników struktury, test dla wariancji, test dla dwóch wariancji.

Przechodzimy już konkretnie do zadania:

Mamy naszą próbę:

792, 810, 820, 886, 910, 840, 1025, 790, 972, 830, 810, 780, 815, 954, 810, 930, 820

jest w niej 17 elementów (wystarczy policzyć)

Jesteśmy w stanie obliczyć podstawowe parametry tej próbki (dlatego stosujemy później parametryczne testy istotności) czyli średnią arytmetyczną () i odchylenie standardowe (s).

Średnia arytmetyczna:  =   czyli „po ludzku” dodajemy do siebie wartości tych danych i dzielimy przez ilość danych (tak samo się liczy średnią ocen w szkole)

=

= =  858,4705882

Ten wynik oznacza, że średnio 1 dnia przejeżdża tą trasą 858,4705882 samochodów (wiem, że samochód nie może być ułamkiem, ale w średniej tak może być), oczywiście ta średnia dotyczy tylko tej 17-elementowej próbki.

Odchylenie standardowe (s) (nasza próbka jest mało liczna - 17 elementów) dla takich stosuje się wzór:

s2 =        s2 to wariancja, natomiast odchylenie standardowe to s =

Obliczę to w tabeli i będzie to wtedy widoczne:

1. Najpierw wypisuję wartości 17 próbek – kolumna xi

2. Później od każdej z nich odejmuję  wyliczoną wcześniej średnią – kolumna (xi - ), czyli:

·         dla próbki 1 wygląda to następująco: 792 - 858,4705882 = -66,47058824

·         dla próbki 2 wygląda to następująco: 810 - 858,4705882 = -48,47058824

·         dla próbki 3 wygląda to następująco: 820 - 858,4705882 = -38,47058824

i tak liczmy dla wszystkich 17 wartości wyniki w tabeli.

3. teraz każdą z wyliczonych wartości podnoszę w kolumnie (xi - )2  do kwadratu:

·         dla próbki 1 wygląda to następująco: (-66,47058824)2 = 4418,3391

·         dla próbki 2 wygląda to następująco: (-48,47058824)2 = 2349,397924

·         dla próbki 3 wygląda to następująco: (-38,47058824)2 = 1479,986159

i tak liczmy dla wszystkich 17 wartości wyniki w tabeli.

Kolumna xi

Kolumna

(xi - )

Kolumna

(xi - )2

1

792

-66,47058824

4418,3391

2

810

-48,47058824

2349,397924

3

820

-38,47058824

1479,986159

4

886

27,52941176

757,8685121

5

910

51,52941176

2655,280277

6

840

-18,47058824

341,1626298

7

1025

166,5294118

27732,04498

8

790

-68,47058824

4688,221453

9

972

113,5294118

12888,92734

10

830

-28,47058824

810,5743945

11

810

-48,47058824

2349,397924

12

780

-78,47058824

6157,633218

13

815