|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Wykład 2. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.
Załóżmy, że zmienne stanowią zbór zmiennych objaśniających zmiany zmiennej . Oznacza to, że obydwa zbiory zmiennych wchodzą w relację , postaci: . Relacja jest odwzorowaniem, któremu przypisujemy pewną szczególną własność, jest funkcją, nie jest obojętne jaką postać analityczną przyjmuje. Zdefiniujmy kolejne, drugie założenie, zgodnie z którym, relacja jest odwzorowaniem funkcyjnym liniowym postaci:
,
gdzie: - zbiór zmiennych objaśniających, - zmienna objaśniana, - parametry strukturalne, - składnik losowy.
Zwykle nie mamy pełnej informacji o wartościach parametrów strukturalnych . Ich wartości numeryczne można oszacować, jednakże procedurę wnioskowania, znaną w literaturze ekonometrycznej jako proces estymacji, poprzedza przyjęcie funkcji kryterium dopasowania modelu do danych empirycznych. Klasyczna ekonometria przyjmuje takie kryterium jest nim funkcja będącą sumą kwadratów odchyleń pomiędzy wartościami empirycznymi /zmierzonymi/ a wartościami teoretycznymi, zdefiniowanymi w (2.1).
(2.2) .
Funkcja osiąga minimum dla takiego zbioru oszacowań dla którego pochodne cząstkowe funkcji względem każdego parametru , /gdzie: / przyjmują wartość zero:
. Pochodne cząstkowe definiują układ równań o niewiadomych parametrach :
(2.3) Układ równań (2.3) jest układem równań niejednorodnych, układ taki może mieć rozwiązanie bądź nie. Był rozwiązać układ musi być spełniony warunek sformułowany przez Kroneckera – Capelliego, zgodnie z jego treścią, rzędy macierzy głównej i uzupełnionej muszą być takie same. Pozostaje rozstrzygnąć jednoznaczność rozwiązania, jeśli bowiem spełniony jest warunek Kroneckera – Capelliego a ponadto rzędy macierzy głównej oraz uzupełnionej są równe liczbie niewiadomych układu, wówczas rozwiązanie, jest rozwiązaniem jedynym i jednoznacznym. Zdefiniowany układ równań, literatura ekonometryczna określa mianem układu równań normalnych. Jego rozwiązanie jeśli istnieje i jest jednoznaczne, informuje o wartościach parametrów strukturalnych modelu. Jest to jednak mimo swojej skuteczności metoda mało efektywna, głównie czasochłonna, wymagająca czasu na zdefiniowanie układu równań normalnych a następnie dyskusję dotyczącą istnienia oraz liczby rozwiązań zdefiniowanego układu.
Dużym uproszczeniem procesu wnioskowania o wartościach numerycznych parametrów strukturalnych jest zapis modelu przy użyciu pojęć rachunku macierzowego.
Oznaczmy: - macierz zmiennych objaśnianych, - macierz zmiennych objaśniających, - macierz parametrów strukturalnych modelu, - macierz składników losowych.
Model (2.1) po uwzględnieniu przyjętych powyżej oznaczeń przyjmie postać:
,
Realizacją składnika losowego są reszty modelu „” równe:
,
gdzie „” są ocenami parametrów strukturalnych α.
Założenia:
1. liniowa postać analityczna modelu, 2. zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi, 3. składnik losowy ma wartość oczekiwaną zero i stałą wariancję σ2 o skończonej wartości / stałość wariancji rozumiana jest jako jej niezależność od t/, 4. realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg {ξt} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, 5. składnik losowy jest nieskorelowany ze zmiennymi objaśniającymi, 6. zmienne objaśniające nie są współliniowe.
Funkcja kryterium dopasowania modelu do danych empirycznych jest równa:
, , , .
Pochodna cząstkowa ,
stąd .
Jeśli spełnione są założenia to macierz wariancji i kowariancji D2() estymatora „” jest równa: ,
gdzie: jest wariancją składnika losowego.
Ponieważ nie znamy składnika losowego /znane są jedynie reszt równania/ stąd σ2 zastępujemy oceną , gdzie:
.
Licznik wyrażenia jest równy . Pierwiastek kwadratowy z nazywamy błędem standardowym.
Zgodność modelu z „rzeczywistością” mierzy współczynnik determinacji , jest ilorazem odchyleń wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej od wartości średniej tej zmiennej do odchyleń wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości średniej zmiennej:
. Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału . Wartość tego współczynnika określa jaką część zmienności zmiennej objaśnianej opisuje przyjęty zbiór zmiennych objaśniających. Miarę zgodności opisu uzupełniają błędy średnie szacunku parametrów strukturalnych. Wyznaczane są w oparciu o elementy macierzy wariancji i kowariancji estymatora . Błędy średnie szacunku parametrów są pierwiastkami z wariancji estymatora, . |
Menu
|