wahadło rewersyjne, Budownictwo-studia, fizyka

1. OPRACOWANIE TEORETYCZNA

              Każde dwa ciała przyciągają się z siłą grawitacji , której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał m1, m2, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi:

gdzie G jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym stałą grawitacji i wynosi 6.67 *10-11N m2/kg2. Kierunek siły pokrywa się z linią łączącą środki mas m1 i m2.

              Jeśli rozpatrzymy układ obejmujący Ziemię (M) oraz badane ciało (m) znajdujące się na powierzchni Ziemi, to siłę grawitacji możemy zapisać wzorem:

gdzie R jest promieniem Ziemi. Wzór ten można zapisać w innej postaci:

gdzie ggr jest wielkością stałą w danym punkcie Ziemi, i nosi nazwę przyśpieszenia  grawitacyjnego. Wartość przyśpieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi nie jest stała, gdyż Ziemia jest nieco spłaszczona na biegunach i ma kształt zbliżony do elipsoidy.

              Na każde ciało znajdujące się w polu ciężkości Ziemi działa siła ciężkości (inaczej zwana ciężarem ciała), która nadaje ciału przyśpieszenie zwane przyśpieszeniem ziemskim:

              Przyśpieszenie ziemskie jest to zatem takie przyśpieszenie, z którym poruszają się wszystkie ciała swobodnie spadające na powierzchnię Ziemi, bez względu na swoją masę.

              Siła ciężkości jest wypadkową kilku sił, wśród których dominuje siła grawitacji.  Niewielki udział mają również siła odśrodkowa i siła wyporu powietrza. Siła odśrodkowa  Fo, działająca na ciała znajdujące się na powierzchni Ziemi, jest skutkiem ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Wartość siły odśrodkowej działającej na ciało o masie m zależy od prędkości kątowej w (która jest stała we wszystkich punktach Ziemi) oraz odległości r danego ciała od osi obrotu Ziemi. Kierunek siły odśrodkowej jest zawsze prostopadły do osi obrotu Ziemi, a jej wartość rośnie w miarę przesuwania się od bieguna, gdzie wynosi zero, do równika, gdzie przyjmuje wartość maksymalną.

              Siła odśrodkowa jest mała w porównaniu z siłą grawitacji Ziemi. Nawet na równiku  stosunek tych dwóch sił wynosi zaledwie 1:288. Przyśpieszenie ziemskie dla Krakowa wynosi 9.981 m/s2.

              Wartość siły ciężkości związana jest również z budową wewnętrzną Ziemi, a w  szczególności z budową skorupy ziemskiej. Nauka, która bada związek siły ciężkości (i przyśpieszenia ziemskiego) z figurą i budową wewnętrzną Ziemi nazywa się grawimetrią. Precyzyjny pomiar siły ciężkości w różnych punktach Ziemi dostarcza informacji o  rozkładzie gęstości ośrodka w rejonie obserwacji, umożliwiając badania struktur  geologicznych i poszukiwanie złóż kopalin. Podstawową wielkością mierzoną w grawimetrii jest przyśpieszenie ziemskie. Jego wartość można zmierzyć m.in. przy pomocy wahadła matematycznego, fizycznego czy bardziej skomplikowanych przyrządów zwanych grawimetrami.

Dla wahadła fizycznego stosuje się wzór na  określenie wahań takich samych ,jak dla wahadła matematycznego :

                                              T=2π√lg

gdzie:

     l – długość wahadła, tj. odległość środka ciężkości ciała zawieszonego od osi obrotu,

     g – przyspieszenie ziemskie.

Z ta różnica ,ze l w tym wzorze oznacza długość takiego wahadła matematycznego ,które jest zsynchronizowane  czasie z wahadłem fizycznym ;jest to tzw. Długość zredukowana .pomiar przyspieszenia g sprowadza się do wykorzystania wzoru 

Wahadło rewersyjne jest to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne ,które pozwala na bardzo dokładny pomiar l

Można udowodnić ze jeżeli w wahadle fizycznym środek wahań A uczynimy osia obrotu ,to punkt O ,czyli poprzednia os obrotu ,stanie się obecnie środkiem wahań ,to znaczy okresy drgań w oibu przypadkach będą jednakowe . By dowód ten przeprowadzić , szukamy na drodze rozwiązań  teoretycznych okresu drgań wahadła względem punktu O (To)oraz okresu względem punktu A(TA) niech C będzie środkiem masy układu leżącym na prostej OA.

Na podstawie twierdzenia Steinera moment bezwładności względem osi O określa wyrażenie    

                                        Bo=Bc+ma2

Gdzie Bc oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy.

    Okres wahań względem osi O można napisać w postaci

                            To=2π√ BC+ma2mga

Gdzie a jest odległością od środka masy C od osi obrotu Jeśli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez punkt A ,to okres wahań względem osi będzie

                               TA 2π√ BC+mb2mgb                                 

gdzie b –odległość środka masy od punktu zawieszenia

     Przypusty ze niesiemy ze punkt A  jest Środkiem wahań wahadła fizycznego natomiast znana jest na podstawie przeprowadzonych pomiarów  równość okresów To=TA         Przyjmujemy wtedy siebie stronami równania i otrzymujemy

                                            BC(a-b)=mab(a-b)

Równanie to wyznacza takie położenie środka  wahadła , które zapewnia omawianą równość okresów . Jeśli to możliwe gdy:

1.      a=b    , środek masy znajduje się w połowie długości odcinka OA prawdopodobieństwo tego przypadku jest bardzo małe i dlatego nie bierzemy go pod uwagę 

2.      a-b≠0, wtedy obie strony równania skracamy przez a-b i otrzymujemy

                                BC=mab

Podstawiając otrzymana wartość do wzoru otrzymujemy

                                     TA=To=2π√a+bg

Zależność ta stwierdza ,że okres wahań wahadła fizycznego jes taki sam ,jak okres wahań wahadła zredukowanego o długość

                                         l=a+b

Uzasadniona jest wiec podaną wyżej właściwość punktów O i A wahadła fizycznego , na której opera się budowa wahadła rewersyjnego .

Wahadło rewersyjne jest to ciało sztywne , mające takie dwie osie obrotu I i II że okresy wahań względem nich są jednakowe . Znajdując doświadczalnie wzajemną odległość tych osi oraz okres wahań wahadła względem każdej z nich , wyznaczamy przyspieszenie ziemskie według wzoru

                                      g = 4π2(a+b)T2

gdzie l =a+b  jest długością wahadła zredukowanego

   Najczęściej spotykaną formom wahadła rewersyjnego jest sztaba stalowa ,na której znajdują się trzy metalowe ciężarki w kształcie soczewek . Dwie z nich A i B są nieruchome ,trzecią C   możemy przesuwać wzdłuż sztaby i odczytywać jej położenie na skali wykreślonej na pręcie . Przez przesuniecie tej soczewki zmieniamy położenie środka masy wahadła a przez to i okres wahadła . Osie obrotu I i II  maja postać nieruchomo przymocowanych pryzmatów i znajdują się stałej od siebie odległości , która można zmierzyć z bardzo dużą dokładnościom .Zwykle ta odległość jest dla danego wahadła podobna ,przesuwając soczewkę  C  znajdujemy takie jej położenie ,przy którym okresy wahań względem osi są jednakowe .

WYKONANIE ĆWICZENIA

położenie soczewki

okres wahańT1

okres wahańT2

5

56,28

54,73

10

54,32

54,58

15

...