w 01 funkcje, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

FUN KCJE JE DN E J ZM I E N N E J
D E FIN ICJA . F unkcja f o d wz o r o wu j¸
a c a z b i´o r D ⊂ R w R je s t
t o p r z yp o r z ¸
a d ko wa n ie ka ˙
z d e m u e le m e n t o wi x ∈ D d o kla d n ie je d n e j
lic z b y r z e c z ywis t e j.
P is z e m y f : D → R lu b y = f( x) , x ∈ D. Je ˙
z e li d z ie d z in a D, w
kt ´o r e j fu n kc j¸e r o z wa ˙
z a m y n ie je s t wyr a ´z n ie ws ka z a n a , t o p r z yjm u je m y,
a z b i´o r ws z ys t kic h lic z b x, d la kt ´o r yc h p r a wa s t r o n a wz o r u
y = f( x) m a o kr e ´s lo n ¸
a wa r t o ´s ´c .
D E FIN ICJA . W ykres fu n kc ji f : D → R t o z b i´o r
{( x, y) ; y = f( x) , x ∈ D}.
D E FIN ICJA . Fu n kc j¸e f : D → R n a z ywa m y roznowartosciowa, g d y
^
x
1
= x
2
⇒ f( x
1
)
= f( x
2
) .
x
1
,x
2
∈D
D E FIN ICJA . Fu n kc j¸e f : D → R n a z ywa m y rosnaca, g d y
^
x
1
< x
2
⇒ f( x
1
) < f( x
2
) .
x
1
,x
2
∈D
D E FIN ICJA . Fu n kc j¸e f : D → R n a z ywa m y malejaca, g d y
^
x
1
< x
2
⇒ f( x
1
) > f( x
2
) .
x
1
,x
2
∈D
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t parzysta, g d y
^
−x ∈ D ∧ f( x) = f( −x) .
x∈D
W ykr e s fu n kc ji p a r z ys t e j je s t s ym e t r yc z n y wz g l¸e d e m o s i 0 y.
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t nieparzysta, g d y
^
−x ∈ D ∧ f( x) = −f( −x) .
x∈D
W ykr e s fu n kc ji n ie p a r z ys t e j je s t s ym e t r yc z n y wz g l¸e d e m ´s r o d ka u kla d u
ws p ´o lr z ¸e d n yc h .
z e f : D → W o r a z g : W → R. Zlozenie
fu n kc ji f o r a z g t o fu n kc ja h : D → R o kr e ´s lo n a wz o r e m
h( x) = g
z m y, ˙
f( x)
.
z e je s t n i¸
˙
D E FIN ICJA . Za l´o ˙
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t r ´o z n o wa r t o ´s c io wa w z b io r z e D
o r a z z e W je s t z b io r e m wa r t o ´s c i, kt ´o r e p r z yjm u je t a fu n kc ja . Fu n kc ja
odwrotna d o fu n kc ji f : D → W t o fu n kc ja f
−1
: W → D o kr e ´s lo n a
n a s t ¸e p u j¸a c o :
f
−1
( y) = x ⇔ y = f( x) .
W N IOS E K . f
−1
f( x)
= x o r a z f
f
−1
( y)
= y.
S
´
C. W ykr e s y fu n kc ji f( x) o r a z f
−1
( x) s ¸a s ym e t r yc z n e wz g l¸e d e m
p r o s t e j y = x.
. In a c z e j m ´o wi¸a c
a r c s in x = y ⇔ x = s in y d la x ∈ [−1 , 1 ] o r a z y ∈
−
2
,
2
−
2
,
2
.
.
Oc z ywi´s c ie : a r c c o s x = y ⇔ x = c o s y d la x ∈ [−1 , 1 ] o r a z
0 , π
y ∈
0 ,π].
.
Oc z ywi´s c ie : a r c t g x = y ⇔ x = t g y d la x ∈ R o r a z y ∈
−
2
,
2
−
2
,
2
.
.
Oc z ywi´s c ie : a r c c t g x = y ⇔ x = c t g y d la x ∈ R o r a z y ∈
0 ,π
0 , π
.
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t ograniczona z gory, g d y is t n ie je
t a ka lic z b a M, z e d la ka z d e g o x ∈ D m a m y f( x)
≤ M.
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t ograniczona z dolu, g d y is t n ie je
t a ka lic z b a m, z e d la ka z d e g o x ∈ D m a m y f( x)
≥ m.
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t ograniczona, je ´s li je s t o g r a n i
c z o n a z d o lu i z g ´o r y.
D E FIN ICJA . Fu n kc ja f : D → R je s t okresowa, g d y is t n ie je t a kie
r = 0 , z e d la ka z d e g o x ∈ D m a m y x + r ∈ D o r a z f( x + r) = f( x) .
D E FIN ICJA . Fu n kc ja elementarna t o fu n kc ja p o ws t a la z fu n kc ji t r y
g o n o m e t r yc z n yc h , c yklo m e t r yc z n yc h ( a r c u s ) , p o t ¸e g o wyc h , wykla d n ic z yc h
i lo g a r yt m ic z n yc h z a p o m o c ¸a s ko ´n c z o n e j lic z b y o p e r a c ji d o d a wa n ia ,
o d e jm o wa n ia , m n o z e n ia , d z ie le n ia i z lo z e ´n .
W L A S N O
´
D E FIN ICJA . Fu n kc ja arcus sinus t o fu n kc ja o d wr o t n a d o fu n kc ji f( x) =
s in x o d z ie d z in ie o g r a n ic z o n e j d o p r z e d z ia lu
D E FIN ICJA . Fu n kc ja arcus cosinus t o fu n kc ja o d wr o t n a d o fu n kc ji
f( x) = c o s x o d z ie d z in ie o g r a n ic z o n e j d o p r z e d z ia lu
D E FIN ICJA . Fu n kc ja arcus tangens t o fu n kc ja o d wr o t n a d o fu n kc ji
f( x) = t g x o d z ie d z in ie o g r a n ic z o n e j d o p r z e d z ia lu
D E FIN ICJA . Fu n kc ja arcus cotangens t o fu n kc ja o d wr o t n a d o fu n kc ji
f( x) = c t g x o d z ie d z in ie o g r a n ic z o n e j d o p r z e d z ia lu
GRAN I CA FUN KCJI
D E FIN ICJA . Otoczenie p u n kt u x
0
t o p r z e d z ia l ( x
0
− ǫ, x
0
+ ǫ) d la
d o wo ln e g o ǫ > 0 .
D E FIN ICJA . Sasiedztwo p u n kt u x
0
t o z b i´o r ( x
0
− ǫ, x
0
) ∪ ( x
0
, x
0
+ ǫ)
d la d o wo ln e g o ǫ > 0 .
D E FIN ICJA . Za l´o ˙
z m y, ˙
z e fu n kc ja f( x) je s t o kr e ´s lo n a w p e wn ym s ¸
a s ie d z t wie
p u n kt u x
0
. M´o wim y, ˙
z e lic z b a g je s t granica funkcji f( x) w punkcie
x
0
, je ˙
z e li
^
_
^
g − ǫ < f( x) < g + ǫ.
ǫ>0
δ>0
x∈(x
0
−δ,x
0
)∪(x
0
,x
0
+δ)
P is z e m y wt e d y: lim
x→x
0
f( x) = g.
P o d o b n ie d e fi n iu je s i¸e p o z o s t a le t yp y g r a n ic fu n kc ji o r a z g r a n ic e
c i¸
a g ´o w. Ot o d wa p r z ykla d y g r a n ic fu n kc ji.
D E FIN ICJA .
lim
x→∞
f( x) = g
^
_
^
⇔
g − ǫ < f( x) < g + ǫ.
ǫ>0
b
x>b
D E FIN ICJA .
lim
x→x
0
f( x) = ∞ ⇔
^
_
^
f( x) > a.
a
δ
x∈(x
0
,x
0
+δ)
P R ZY P OMN IE N IE .
lim
x→0
s in x
x
= 1 , lim
x→∞
1 +
1
x
= e, lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= e, e ≈ 2 , 7 1 8 , lim
n→∞
√
n = 1 .
x
TW IE R D ZE N IE . Gr a n ic a fu n kc ji f( x) w p u n kc ie x
0
is t n ie je i je s t
r ´o wn a g wt e d y i t ylko wt e d y, g d y is t n ie j¸
a g r a n ic e je d n o s t r o n n e fu n kc ji
f( x) w t ym p u n kc ie i s ¸
a r ´o wn e g, t o z n a c z y
lim
x→x
0
f( x) = lim
x→x
0
f( x) = g.
a g r a n ic e : lim
x→x
0
f
1
( x) = g
1
o r a z
lim
x→x
0
f
2
( x) = g
2
, t o s u m a , r ´o ˙
z e li is t n ie j¸
z n ic a , ilo c z yn i ilo r a z ( o ile g
2
= 0 )
t yc h fu n kc ji t e ˙
z m a g r a n ic ¸e w p u n kc ie x
0
o r a z
lim
x→x
0
f
1
( x) + f
2
( x)
= g
1
+ g
2
,
n
TW IE R D ZE N IE . Je ˙
lim
x→x
0
f
1
( x)
− f
2
( x)
= g
1
− g
2
,
lim
x→x
0
f
1
( x)
f
2
( x)
= g
1
g
2
,
g
2
.
Twie r d z e n ie t o p o z o s t a n ie s lu s z n e , g d y ” x → x
0
” z a s t ¸
lim
x→x
0
f
1
( x)
f
2
( x)
=
g
1
a p im y p r z e z
” x → x
0
” lu b ” x → x
0
” , lu b ” x → ∞” , lu b ” x → −∞” .
TW IE R D ZE N IE . Je ˙
z e li is t n ie j¸
a g r a n ic e
x→x
0
f
1
( x) = c o r a z lim
x→c
f
2
( x) = g,
t o is t n ie je g r a n ic a z lo ˙
z e n ia t yc h fu n kc ji o r a z lim
x→x
0
f
2
f
1
( x)
= g.
Twie r d z e n ie t o p o z o s t a n ie s lu s z n e , g d y ” x → x
0
” z a s t ¸
a p im y p r z e z
” x → ∞” lu b ” x → −∞” o r a z g d y c lu b g z a s t ¸
a p im y p r z e z
∞ lu b
−∞.
z e fu n kc ja f( x) o kr e ´s lo n a w p e wn ym o t o c z e n iu
p u n kt u x
0
je s t ciagla w punkcie x
0
, je ˙
z e li is t n ie je g r a n ic a fu n kc ji f w
t ym p u n kc ie i je s t o n a r ´o wn a wa r t o ´s c i fu n kc ji w t ym p u n kc ie , t o z n a c z y:
lim
x→x
0
f( x) = f( x
0
) .
a p r z e d z ia l´o w ( wyk
lu c z a m y p r z e d z ia ly je d n o p u n kt o we , t o z n a c z y [a, a]) o r a z n ie c h D z a
wie r a s i¸e w d z ie d z in ie fu n kc ji f. M´o wim y, ˙
z e fu n kc ja f je s t ciagla w
z d ym p u n kc ie t e g o z b io r u . W p r z y
p a d ku p r z e d z ia l´o w d o m kn i¸e t yc h c i¸
z e li je s t c i¸
a g la w ka ˙
a g lo ´s ´c n a kr a ´
n c a c h p r z e d z ia lu r o z u
m ie m y ja ko c i¸
a g lo ´s ´c je d n o s t r o n n ¸
a , n a p r z ykla d f( x) o kr e ´s lo n a w [a, b]
je s t c i¸
a g la w a, g d y lim
x→a
+
f( x) = f( a) .
TW IE R D ZE N IE . S u m a , r ´o ˙
z n ic a , z lo ˙
z e n ie , ilo c z yn i ilo r a z ( o ile is t n ie je )
fu n kc ji c i¸
a g lyc h je s t fu n kc j¸
a c i¸
a g l¸
a .
W N IOS E K . Fu n kc ja e le m e n t a r n a je s t c i¸
a g la w ka ˙
z d ym p u n kc ie x
0
, d la
z e p r z e d z ia l [x
0
, x
0
+ λ) lu b ( x
0
−λ, x
0
]
z a wie r a s i¸e w d z ie d z in ie t e j fu n kc ji.
lim
D E FIN ICJA . M´o wim y, ˙
D E FIN ICJA . N ie c h D b ¸e d z ie p r z e d z ia le m lu b s u m ¸
zbiorze D, je ˙
kt ´o r e g o is t n ie je λ > 0 t a ka , ˙

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl