w1i2-rol-08, Budownictwo-studia, Matematyka

Kwantyfikatory:

ogólny                            (duży)                            - czyt.: dla każdego x

szczegółowy               (mały                            - czyt.: istnieje x

Definicja 1. Funkcją określoną na zbiorze D, o wartościach w zbiorze Y, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru D przypada dokładnie jeden element zbioru Y.

Elementy zbioru D nazywamy argumentami, zaś elementy zbioru Y wartościami funkcji.

                                                                                                                D – dziedzina funkcji

   D                                                Y                                                                      Y – przeciwdziedzina lub zbiór wartości funkcji

     D                                                   Y

Definicja 2. Niech. Funkcję f nazywamy różnowartościową (iniektywną lub iniekcją) jeżeli

(lub gdy spełniony jest warunek równoważny: )

Przykład              

Definicja 3. Niech. Funkcję f nazywamy suriektywną (suriekcją) jeżeli .

Uwaga: Ta właściwość funkcji zależy istotnie od tego, jak zostanie zdefiniowany zbiór Y. Np.: nie jest suriekcją, ponieważ

Ale jest funkcją suriektywną, ponieważ

                                                                                                  Przedstawiona na diagramie funkcja jest

Definicja 4. Funkcję nazywamy bijektywną (bijekcją lub funkcją wzajemnie jednoznaczną) jeżeli jest ona suriektywna i iniektywna.

Definicja 5. Dana jest bijekcja: .

Funkcją odwrotną do f nazywamy

Uwaga!

Przykłady:

Definicja 6. Niech dane będą funkcje: Złożeniem (superpozycją) funkcji nazywamy funkcję

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g – funkcją zewnętrzną.

Przykład:

Wykonaj złożenia w obu porządkach

Wyznacz dziedzinę tych złożeń.

1. Wielomiany              

2. Funkcje wymierne             

Dziedzinę funkcji wymiernej stanowi zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika!!!!

3. Funkcje wykładnicze

                                          przy czym parametr funkcji  a>0

4. Funkcje logarytmiczne

                            przy czym parametr funkcji a>0 oraz

Uwaga: Logarytm istnieje wyłącznie dla liczb dodatnich!!!

5. Funkcje potęgowe

                                                        Dziedzina funkcji zależy od wartości parametru p

w szczególności dla otrzymujemy i wówczas

Uwaga: Pierwiastek kwadratowy istnieje wyłącznie dla liczb nieujemnych!!!

6. Funkcje trygonometryczne

                              (Uwaga: Z oznacza zbiór liczb całkowitych)

7. Funkcje cyklometryczne (kołowe) czyli

v     Funkcja

Przyjrzyjmy się własnościom funkcji h(x) = sin x

jest funkcją                                                        zatem

x

-1

0

1

arc sinx

...