w 12, Budownictwo UTP, semestr 1 i 2, UTP

WEKTORY W PRZESTRZENI TRÓJWYMIAROWEJ
DEFINICJA. Uporządkowaną parę punktów
,
nazywamy wektorem i oznaczamy
.
Punkt
to początek wektora, punkt
to koniec wektora.
jest zerowy. Każde dwa wektory zerowe (o
dowolnych początkach) są sobie równe. Wektor zerowy oznaczamy przez
, to wektor
0
.
mają ten sam kierunek (są równoległe), gdy
proste wyznaczone przez te wektory (czyli prosta przechodząca przez punkty
oraz
i
oraz
prosta przechodząca przez punkty
i
) są równoległe.
DEFINICJA. Dwa niezerowe wektory mają ten sam zwrot, gdy półprostą wyznaczoną przez
jeden z tych wektorów można przesunąć równolegle tak, by pokryła się z półprostą
wyznaczoną przez drugi z tych wektorów. Oczywiście wektory mające ten sam zwrot są
równoległe.
DEFINICJA. Gdy dwa niezerowe wektory są równoległe, ale nie mają tego samego zwrotu, to
mówimy, że mają przeciwne zwroty.
DEFINICJA. Długość wektora
, to długość odcinka
. Długość wektora oznaczamy
|
.
DEFINICJA. Dwa wektory niezerowe są równe, gdy mają ten sam kierunek, tę samą długość i
ten sam zwrot.
DEFINICJA. Sumą wektorów
oraz
nazywamy wektor
o początku w początku
wektora
i końcu w końcu wektora
, o ile koniec wektora
jest początkiem wektora
.
DEFINICJA. Iloczynem wektora
przez liczbę λ nazywamy wektor
określony
następująco:
1.
gdy
0
lub
0
to
0
;
2.
gdy
0
i
0
to
ma kierunek wektora
, długość
|| ||||
oraz
zwrot zgodny ze zwrotem
gdy
0
, a przeciwny do zwrotu
gdy
0
DEFINICJA. Wektor przeciwny do wektora
to wektor
1
. Odejmowanie
wektorów definiujemy tak:
.
DEFINICJA. Kąt między niezerowymi wektorami (przesuwamy je tak, by miały wspólny
początek) to kąt
,
0,
.
DEFINICJA. Wersory osi
0,0,0
układu współrzędnych to wektory
,,
o długości 1 oraz
o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem odpowiedniej osi.
DEFINICJA. Jeśli
DEFINICJA. Dwa niezerowe wektory
|
.
jaki tworzą półproste wyznaczone przez te wektory. Dwa
wektory są prostopadłe, gdy kąt między nimi wynosi
WŁASNOŚĆ. Dla każdego wektora
(w przestrzeni trójwymiarowej) istnieją (jednoznacznie
określone) liczby
,
,
takie, że
. Liczby
,
,
to
współrzędne wektora. Zapisujemy też
,
,
.
WŁASNOŚĆ. Gdy
,
,
,
,
,
, to
||
,
,
,
,
,
,
.
WŁASNOŚĆ. Gdy
,
,
,
,
,
, to
,
,
,
|
.
DEFINICJA. Iloczyn skalarny wektorów
i
to liczba
||
cos,
.
TWIERDZENIE. Gdy
,
,
,
,
,
,
to
.
WŁASNOŚĆ.
0.
DEFINICJA. Iloczyn wektorowy wektorów
i
to wektor
zdefiniowany następująco:
1.
gdy
0
lub
0
,
lub wektory
i
są równoległe, to
0
;
|
|
|
sin,
2.
w przeciwnym przypadku,
|
, wektor
jest
prostopadły do wektorów
i
oraz ma zwrot taki, że patrząc z końca wektora
na płaszczyznę wyznaczoną przez wektory
i
(zakładamy, że te trzy
wektory mają wspólny początek) kąt skierowany od
do
jest mniejszy od π.
TWIERDZENIE. Gdy
,
,
,
,
,
,
to
.
WŁASNOŚĆ. Długość iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest równa polu
równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
WŁASNOŚĆ. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny:
.
DEFINICJA. Iloczyn mieszany trzech wektorów
,
,
to liczba
(
.
INTERPRETACJA. Wartość bezwzględna z iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa
objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach.
TWIERDZENIE.
Gdy
,
,
,
,
,
,
,
,
,
to
.
|

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl