|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
METODA
PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A Podstawowe własności przekształcenia Laplace'a śród metod częstotliwościowych badania układów analogowych najczęściej znajduje zastosowanie metoda przekształcenia Laplace'a . Podstawową cechą metody jest algebraizacja obliczeń stanów dynamicznych, polegająca na zastąpieniu działania różniczkowania funkcji czasu przez pomnożenie funkcji zmiennej zespolonej, zwanej transformatą, przez parametr zespolony i odpowiednio na zastąpieniu całkowania funkcji czasu w granicach od 0 do t , przez podzielenie transformaty przez tenże parametr. Metodę przekształcenia Laplace'a zaliczamy do metod operatorowych, a zespół twierdzeń i reguł związanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace'a nazywamy krótko rachunkiem operatorowym. W przekształceniu Laplace'a, zwanym też transformacją Laplace'a, rozpatruje się dwie funkcje: 1) funkcję f( t ) argumentu rzeczywistego (zmiennej rzeczywistej) t , którym w elektrotechnice jest zazwyczaj czas; funkcję f( t ) nazywamy funkcją oryginalną, oryginałem lub też funkcją czasu; 2) funkcję F( s ) argumentu zespolonego (zmiennej zespolonej) s = σ j ω zwanego też parametrem zespolonym, określoną wzorem ∞ F ( s ) = ∫ f ( t ) exp( − st ) d t (2.142) 0 zwaną transformatą funkcji czasu, jej funkcją przekształconą lub też jej obrazem. W odniesieniu do funkcji czasu, o której mówimy, że jest transformowalna według Laplace'a, czynimy następujące założenia: 1) znika dla argumentów ujemnych, tzn. f( t )=0 przy t <0; 2) jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0 do α oraz jest w tym przedziale ciągła, z wyjątkiem co najwyżej punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; w punktach tych następuje skok funkcji o skończoną wartość, innymi słowy są to punkty nieciągłości pierwszego rodzaju; 3) wzrasta co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza, tzn. do danej funkcji f( t ) można dobrać taką liczbę dodatnią M oraz taką stałą α nieujemną, że dla wszelkich wartości argumentu t zachodzi f( ) t < α M t exp( ) (2.143) = α przy stałej α >0, która jest transformowalna według Laplace'a. Przy oznaczeniu s= + σ ω możemy napisać () exp( ) t F () s = ∞ ∫ α exp ( )exp( ) − = st t − − 1 exp(( α − )) ∞ = 1 (2.144) s α 0 s − α 0 Podany wynik otrzymuje się, gdy funkcja podcałkowa jest wykładniczo zanikająca, tzn. gdy Re( s )= σ > α . Obliczana całka jest wówczas zbieżna. Gdy natomiast σ ≤ , całka ta jest rozbieżna. + Rozpatrzymy przykład funkcji wykładniczej ft t d st = równoległej do osi urojonej, transformata istnieje i jest określona wzorem (2.144). Przekształcenie określone wzorem (2.142) lub krótko F( s ) = L {f( t )} (2.145) nazywamy prostym; służy ono do wyznaczania transformaty danej funkcji czasu. Jeżeli natomiast dana jest transformata F( s ), a szukana funkcja czasu f( t ), piszemy zależność odwrotną f( t ) = L -1 F( s )} (2.146) stanowiącą zapis przekształcenia odwrotnego Laplace'a. Można wykazać, że przekształcenie odwrotne, napisane w postaci całki względem zmiennej zespolonej s , ma postać 1 2π cj + ∞ ∫ f () = j F ()exp( ) s st s d (2.147) cj −∞ gdzie c jest liczbą rzeczywistą dodatnią, nie mniejszą od odciętej zbieżności transformaty, c ≥σ , a całkowanie przebiega wzdłuż prostej równoległej do osi urojonej. Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest jego liniowość; innymi słowy przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji. W odniesieniu do dwóch funkcji czasu własność liniowości tego przekształcenia możemy wyrazić zależnością L {( ) λ λ 11 f t + 2 2 f ( )} ( ) t = λ λ 1 1 F s + 2 2 ( ) s (2.148) w której λ 1 i λ 2 są skalarami. SPLOT DWÓCH FUNKCJI CZASU Jednym z podstawowych pojęć rachunku operatorowego jest splot dwóch funkcji czasu; splot stanowi funkcję czasu określoną ogólnie całką oznaczoną ∞ ∞ f () = f 1 ()* () f 2 t = ∫ f 1 τ τ τ f 2 t − = − ) ∫ f 1 ( t τ τ τ ) ( ) 2 d (2.149) −∞ −∞ W ramach przekształcenia Laplace'a rozważamy funkcje, które znikają dla chwil t ujemnych. Wobec tego można dla takich funkcji ograniczyć przedział całkowania zmiennej τ we wzorze (2.149) i określić splot całką oznaczoną t t f () = f 1 ()* () f 2 t = ∫ f 1 ( ) ( τ τ τ f 2 t − = − ) ∫ f 1 ( τ τ ) ( ) 2 d τ (2.150) 0 0 Wielkość a nazywamy odciętą zbieżności transformaty. Gdy zatem parametr zespolony s jest położony na płaszczyźnie zmiennej zespolonej w prawej półpłaszczyźnie i na prawo od prostej σ α t F t t ( ) ( d f t t d t f Twierdzenie Borela Do transformaty splotu odnosi się twierdzenie Borela wyrażone zależnością L {( f 1 t )* ()} () () f 2 t = F s F s (2.151) Twierdzenie to, którego dowód pomijamy, możemy wysłowić w następujący sposób: transformata splotu dwóch funkcji czasu równa się iloczynowi transformat tych funkcji. TRANSFORMATY LAPLACE'A TYPOWYCH SYGNAŁÓW Transformaty Laplace'a typowych sygnałów mają postać ilorazu będącego funkcją wymierną względem parametru s F () s = L N () () s s (2.152) W najprostszym przypadku zakładamy, że mianownik N( s ) nie ma pierwiastków wielokrotnych, a stopień licznika L( s ) jest mniejszy od stopnia mianownika N( s ). Zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie, rozpatrywanej transformacie odpowiada funkcja czasu n L N () '( ) exp( ) s s k k f () t = ∑ 1 st k (2.153) k = gdzie n oznacza stopień wielomianu N( s ), a s k są pierwiastkami równania N( s = 0 (2.154) Transformaty Laplace'a wybranych sygnałów Funkcję skoku jednostkowego, zwaną krótko funkcją jednostkową, oznaczymy przez 1 i określimy wzorem ( t ) 1 ( ) = 0 dla t < 0 (2.155) 1 dla t ≥ 0 Pochodna tej funkcji jest równa zeru dla chwil dodatnich i ujemnych, z wyjątkiem chwili t =0, w której jest zasadniczo nieokreślona. Może się zdarzyć, że skok funkcji jednostkowej następuje nie w chwili t =0, lecz w pewnej chwili dodatniej t = a , jest zatem opóźniony o wartość a . Mamy wówczas do czynienia z funkcją jednostkową opóźnioną o odstęp czasu a , zwaną też funkcją jednostkową przesuniętą w stronę czasów dodatnich o wartość a . Funkcja jednostkowa opóźniona jest określona wzorem 1 2 t 1 t − a ) = 0 dla t < a (2.156) 1 dla t ≥ a Na rys. 2.134 podane są wykresy funkcji jednostkowej podstawowej (tzn. nie opóźnionej) ( t ) i funkcji jednostkowej opóźnionej 1 ( a t − ) . a) b) ε( t 1 ( t-a ) ε( ) ta − Rys. 2. 34 Wykresy funkcji jednostkowej podstawowej i funkcji jednostkowej opóźnionej ( t ∞ , wobec czego ich transformata Laplace'a jest taka sama. Z całki definicyjnej (2.142) wynika, że wynosi ona Funkcja jednostkowa 1 nie różni się od funkcji f( t )=1 w przedziale czasowym od 0 do L {1}= L ∫ ∞ − 1 ∞ 1 { ( t )} = exp( − st ) d t = exp( − st ) = (2.157) s 0 s 0 Z całki definicyjnej otrzymuje się również bardzo łatwo transformatę funkcji jednostkowej opóźnionej ∞ − 1 ∞ 1 L { t − a )} = ∫ exp( − st ) d t = exp( − st ) = exp( − as ) (2.158) s a s a Korzystając z liniowości przekształcenia Laplace'a możemy również od razu na podstawie (2.157) napisać transformatę stałej a =const L { a } = a s (2.159) t α) , przy stałej a>0, można w prosty sposób obliczyć z całki definicyjnej podobnie jak w przypadku funkcji wykładniczo rosnącej (2.144) Transformatę Laplace'a funkcji wykładniczej zanikającej - f( ) = exp(- L {ex p ( )} −= − − = − + at ∞ ∫ exp ( α t ) ( ) st t d 1 ( ( −+ ∞ = α st 1 (2.160) s α 0 s + α 0 Otrzymane transformaty funkcji wykładniczych i liniowość przekształcenia Laplace'a można wykorzystać do obliczenia transformat funkcji trygonometrycznych L {sin( )} ω t = 2 ω ω 2 (2.161) s + L {cos ( )} ω t = s (2.162) 2 2 s + ω L {exp(- )siαω t ( } ( t = ω αω 2 2 (2.163) s ++ ) 1 1 ( t ) ) ) W badaniach sygnałów duże znaczenie mają transformaty impulsów jednorazowych. W przypadku najprostszym mamy do czynienia z jednorazowym impulsem prostokątnym, który powstaje w chwili a, znika w chwili b , a przez czas trwania impulsu wynoszący ( b-a ) ma stałą amplitudę A (rys. 2.35a). Impuls taki możemy traktować jako sumę algebraiczną funkcji jednostkowych, mnożonych przez A i opóźnionych odpowiednio o wartość a oraz b . W ten sposób jednorazowy impuls prostokątny możemy zapisać za pomocą funkcji czasu f ( t ) = A [ 1 ( t − a ) − 1 ( − b )] (2.164) Wykorzystując obliczoną transformatę (2.158) wyznaczamy transformatę tego impulsu F( ) s = A s [exp( − − − as ) exp( )] bs (2.165) a) A ⋅ 1 ( t-a ) ta ) −A ⋅ − ε tb ) b) sin ω ⋅ ε() t sin ( ) ω ta − ⋅ − ε ta ( ) Rys. 2. 35. Jednorazowy impuls a) prostokątny, b) sinusoidalny Analogicznie możemy wyznaczyć transformatę jednorazowego impulsu sinusoidalnego półfalowego, który możemy traktować jako sumę funkcji sinusoidalnych: podstawowej i opóźnionej o pół okresu jak na rys. 2.35b. f ( t ) = sin( ω t ) 1 ( t ) + sin( ω ( t − a )) 1 t − a ) (2.166) Transformata tego impulsu ma wobec powyższego postać F( ) s = 2 ω ω 2 [ exp( +− as )] (2.167) s + t ε( − 1 ( t-b ) 1 ( t-a ) 1 ( t ) ( 1 |
Menu
|