w 17b całki krzywoliniowe, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKI KRZYWOLI N I OWE I P OWI E RZCH N I OWE
D E FIN ICJA .
L uk gladki, t o kr z ywa o r ´o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym : x = x( t) , y = y( t) , t
1
≤ t ≤ t
2
t a ka , z e r ´o z n ym
wa r t o ´s c io m
p a r a m e t r u t o d p o wia d a j¸a r ´o z n e p u n kt y n a kr z ywe j, z e
x
′
( t) , y
′
( t)
[x
′
( t) ]
2
+ y
′
( t) ]
2
= 0
fu n kc je
s ¸a c i¸a g le o r a z
d la d o wo ln e g o
t ∈ [t
1
, t
2
].
K rzywa regularna t o s u m a s ko ´n c z o n e j lic z b y lu k´o w g la d kic h .
D E FIN ICJA . K r z ywe j l m o z n a n a d a ´c orientacje : a lb o z a p o c z ¸a t e k p r z yjm u je m y
p u n kt ( x( t
1
) , y( t
2
) ) , a z a ko n ie c ( x( t
2
) , y( t
2
) ) , a lb o z a p o c z ¸a t e k p r z yjm u je m y p u n kt
( x( t
2
) , y( t
2
) ) , a z a ko n ie c ( x( t
1
) , y( t
1
) ) .
D E FIN ICJA .
Za l´o z m y, z e fu n kc ja
f( x, y)
je s t o g r a n ic z o n a
w p e wn ym
z b io r z e z a wie r a j¸a c ym
kr z yw¸a r e g u la r n ¸a l. K r z yw¸a l d z ie lim y n a n kr z ywyc h
l
1
, . . . , l
n
. P r z e z ∆
i
o z
n a c z a m y d lu g o ´s ´c kr z ywe j l
i
, a n a jwi¸e ks z ¸a z lic z b
∆
1
, . . . , ∆
n
n a z ywa m y norma
podzialu. N a ka z d ym
lu ku l
i
wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( x
i
, y
i
) . Two r z ym y sume
calkowa
σ
n
= f( x
1
, y
1
) ∆
1
+ f( x
2
, y
2
) ∆
2
+ + f( x
n
, y
n
) ∆
n
.
Ta k p o s t ¸e p u je m y d la n = 2 , 3 , . . . o t r z ym u j¸a c p e wie n c i¸a g p o d z ia l´o w kr z ywe j l.
Ci¸a g t e n n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialow, je z e li n o r m a p o d z ia lu d ¸a z y d o
z e r a p r z y n → ∞.
Je z e li d la ka z d e g o c i¸a g u n o r m a ln e g o p o d z ia l´o w kr z ywe j l is t n ie je s ko ´n c z o n a g r a n ic a
lim
n→∞
σ
n
( t a ka s a m a b e z wz g l¸e d u n a wyb ´o r lu k´o w l
i
o r a z p u n kt ´o w ( x
i
, y
i
) ) , t o
g r a n ic ¸e t ¸e n a z ywa m y calka krzywoliniowa niezorientowana (nieskierowana) funkcji
f( x, y) po krzywej l i o z n a c z a m y
R
l
f( x, y) dl.
L A S N O
´
S CI ( Za kla d a m y, z e p o d a n e t u c a lki is t n ie j¸a ) .
1 .
R
R
R
l
g( x, y) dl;
f( x, y) ± g( x, y)
dl =
l
f( x, y) dl ±
R
l
R
2 .
l
f( x, y) dl;
3 . je ´s li l je s t r o z c i¸e t a n a l
1
i l
2
, t o
l
λf( x, y) dl = λ
R
R
l
1
f( x, y) dl +
R
l
f( x, y) dl =
l
2
f( x, y) dl.
TW IE R D ZE N IE .
Je z e li fu n kc ja f( x, y) je s t c i¸a g la w o b s z a r z e z a wie r a j¸a c ym
lu k g la d ki l, t o
Z
Z
p
t
2
f( x, y) dl =
f
x( t) , y( t)
[x
′
( t) ]
2
+ [y
′
( t) ]
2
dt.
l
t
1
W N IOS E K .
Je z e li fu n kc ja f( x, y) je s t c i¸a g la
w o b s z a r z e z a wie r a j¸a c ym
lu k g la d ki l o p is a n y
r ´o wn a n ie m
y = h( x)
d la
a ≤ x ≤ b, t o
Z
Z
p
b
f( x, y) dl =
f
x, h( x)
[1 + [h
′
( x) ]
2
dx.
l
a
U W A GA . Oc z ywi´s c ie m o z n a t a kz e s t o s o wa ´c wz ´o r z t wie r d z e n ia , p o p r o s t u kr z yw¸
l : y = h( x) , a ≤ x ≤ b m o z n a s p a r a m e t r yz o wa ´c n a p r z ykla d t a k
l : x = t, y = h( t) , a ≤ t ≤ b.
P R ZY K L A D .
Zn a le ´z ´c p o lo z e n ie ´s r o d ka m a s y je d n o r o d n e g o p ´o lo kr ¸e g u
l : x
2
+ y
2
= 1 , y ≥ 0 .
S ko r o kr z ywa je s t je d n o r o d n a , m o z e m y p r z yj¸a ´c , z e g ¸e s t o ´s ´c ̺( x, y) = k.
P o d s t a wia m y d o wz o r u n a ws p ´o lr z ¸e d n e ( x
s
, y
s
) ´s r o d ka m a s y
Z
Z
Z
1
m
1
m
x
s
=
x̺( x, y) dl, y
s
=
y̺( x, y) dl, m =
̺( x, y) dl.
l
l
l
K r z ywa l d a s i¸e o p is a ´c n a s t ¸e p u j¸a c o : x =
c o s t, y = s in t, 0
≤ t ≤ π.
Ma s a lu ku l wyn o s i m =
p
R
l
kdl =
R
R
π
0
k
π
0
kdt = πk.
( − s in t)
2
+ ( c o s t)
2
dt =
R
R
π
0
=
π
.
Oc z ywi´s c ie , z e wz g l¸e d u n a s ym
e t r i¸e x
s
= 0 . Mo z n
a t a kz e o b lic z y´c :
x
s
=
π
1
kπ
l
ky dl =
π
0
s in tdt =
π
Za t e m
y
s
=
− c o s t
p
R
R
R
π
0
k c o s t
π
1
kπ
1
kπ
( − s in t)
2
+ ( c o s t)
2
dt =
π
0
c o s tdt =
π
l
kxdl =
s in t]
0
= 0 .
´
S r o d e k m a s y wi¸e c t o p u n kt
( 0 ,
π
) .
D E FIN ICJA .
Za l´o z m y, z e n a kr z ywe j r e g u la r n e j l s ¸a o kr e ´s lo n e fu n kc je P( x, y) , Q( x, y) . Mo z e m y
p r z yjm o wa ´c , z e je s t o kr e ´s lo n e p o le we kt o r o we : ka z d e m u p u n kt o wi ( x, y) je s t p r z y
p o r z ¸a d ko wa n y we kt o r
F
( x, y) = [P( x, y) , Q( x, y) ]. K r z ywe j l n a d a je m y o r ie n t a c j¸e .
N ie c h
S
( x, y) o z n a c z a we kt o r o d lu g o ´s c i 1 , z a c z e p io n y w p u n kc ie ( x, y) , s t yc z n y
d o kr z ywe j l i o z wr o c ie z g o d n ym z o r ie n t a c j¸a kr z ywe j l.
Calka krzywoliniowa zorientowana p a r y fu n kc ji [P( x, y) , Q( x, y) ] p o kr z ywe j l t o
Z
F
( x, y) ◦
S
( x, y) dl.
→
l
R
Ca lk¸e t ¸e o z n a c z m y
l
P( x, y) dx + Q( x, y) dy.
L A S N O
´
S
´
C. Je z e li kr z ywa −l r ´o z n i s i¸e o d l t ylko o r ie n t a c j¸a , t o
Z
Z
P( x, y) dx + Q( x, y) dy = −
P( x, y) dx + Q( x, y) dy.
−l
l
TW IE R D ZE N IE . Za l´o z m y, z e fu n kc je P( x, y) , Q( x, y) s ¸a c i¸a g le n a kr z ywe j r e g u
la r n e j l : x = x( t) , y = y( t) , t
1
≤ t ≤ t
2
z o r ie n t o wa n e j t a k, z e p u n kt ( x( t
1
) , y( t
1
) )
je s t p o c z ¸a t kie m
t e j kr z ywe j. W
t e d y
Z
Z
t
2
P[x( t) , y( t) ]x
′
( t) + Q[x( t) , y( t) ]y
′
( t)
P( x, y) dx + Q( x, y) dy =
dt.
l
t
1
R
l
xydx + x
2
dy o d p u n kt u ( 0 , 0 ) d o ( 1 , 1 ) p o o d c in ku o r a z
P R ZY K L A D . Ob lic z y´c
p o lu ku p a r a b o li y = x
2
.
Za c z n ijm y o d o d c in ka ; l : x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1 .
R
R
R
1
1
1
2
0
=
3
.
l
xydx + x
2
dy =
0
( t t 1 + t
2
1 ) dt =
0
2 t
2
dt =
3
t
3
t e d y
P o p a r a b o li l : x = t, y = t
2
, 0 ≤ t ≤ 1
n a t o m ia s t
R
R
R
1
1
1
3
0
=
4
.
l
xydx + x
2
dy =
0
( t t
2
1 + t
2
2 t) dt =
0
3 t
3
dt =
4
t
4
U W A GA . W p o wyz s z ym p r z ykla d z ie c a lka kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a o d p u n kt u
A = ( 0 , 0 ) d o B = ( 1 , 1 ) z a le z y o d ks z t a lt u d r o g i l¸a c z ¸a c e j t e p u n kt y. Za u wa z m y
je d n a k, z e Q
′
x
( x, y) = 2 x = P
y
( x, y) = x.
D E FIN ICJA . Ob s z a r D n a z ywa m y jednospojnym, g d y ka z d a kr z ywa z a m kn i¸e t a z a
wa r t a w D o g r a n ic z a o b s z a r w c a lo ´s c i z a wa r t y w D.
TW IE R D ZE N IE ( Gr e e n a ) .
Je z e li fu n kc je P( x, y) , Q( x, y) , Q
′
x
( x, y) , P
y
( x, y) s ¸a c i¸a g le w o b s z a r z e je d n o s p ´o jn ym
D i je z e li l je s t b r z e g ie m
o b s z a r u D z o r ie n t o wa n ym
d o d a t n io ( p r z e c iwn ie d o r u c h u
ws ka z ´o we k z e g a r a ) , t o
Z
ZZ
Q
′
x
( x, y) − P
y
( x, y)
P( x, y) dx + Q( x, y) dy =
dxdy.
l
D
N IOS E K . Je z e li o b s z a r D je s t je d n o s p ´o jn y i je z e li l je s t b r z e g ie m
o b s z a r u D
RR
z o r ie n t o wa n ym
d o d a t n io , t o p o le o b s z a r u D ( r ´o wn e
D
1 dxdy) wyn o s i
Z
Z
Z
ydx =
1
pole( D) =
xdy = −
xdy − ydx.
l
l
l
D E FIN ICJA .
W yr a z e n ie P( x, y) dx + Q( x, y) dy n a z ywa m y rozniczka zupelna w o b s z a r z e D, g d y
is t n ie je t a ka fu n kc ja U( x, y) , z e U
x
( x, y) = P( x, y) , U
y
( x, y) = Q( x, y) . Fu n kc j¸e
U( x, y) n a z ywa m y potencjalem p o la we kt o r o we g o
→
F
( x, y) = [P( x, y) , Q( x, y) ].
P, Q, Q
′
x
, Q
′
y
, P
x
, P
y
TW
IE R D ZE N IE . Za l´o z m y, z e fu n kc je
s ¸a c i¸a g le w o b s z a r z e
je d n o s p ´o jn ym
D. N a s t ¸e p u j¸a c e wa r u n ki s ¸a r ´o wn o wa z n e :
R
AB
P( x, y) dx + Q( x, y) dy n ie z a le z y o d
ks z t a lt u kr z ywe j AB = l ⊂ D o p o c z ¸a t ku A i ko ´n c u B;
2 . Q
′
x
( x, y) = P
y
( x, y) d la ( x, y) ∈ D;
3 . P( x, y) dx + Q( x, y) dy je s t r ´o z n ic z k¸a z u p e ln ¸a w D.
1 . c a lka
kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a
W L A S N O
´
S
´
C.
Je z e li je s t s p e ln io n y ja ki´s wa r u n e k ( a wi¸e c ws z ys t kie t r z y) z p o wyz s z e g o t wie r d z e n ia ,
t o c a lka kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a p o kr z ywe j l = AB je s t r ´o wn a r ´o z n ic y p o
t e n c ja l´o w n a ko ´n c u i p o c z ¸a t ku t e j kr z ywe j, t z n .
R
AB
Pdx + Qdy = U( B) − U( A) .
R
R
x
x
0
P( t, y) dt +
y
y
0
Q( x
0
, t) dt.
P o n a d t o je ´s li ( x
0
, y
0
) ∈ D, t o
U( x, y) =
→
F
( x, y) = [y − 2 x, x − 2 y] wz d lu ˙z lu ku kr z ywe j
P R ZY K L A D . Ob lic z y´c p r a c ¸e s ily
y = s in
5
( πx)
o d p u n kt u ( 2 , 0 ) d o p u n kt u ( 0 , 0 ) .
R
l
P( x, y) dx + Q( x, y) dy, g d z ie P( x, y) = y − 2 x, Q( x, y) = x − 2 y.
P o c h o d n e : P
y
= 1 = Q
′
x
, wi¸e c p o le we kt o r o we je s t p o t e n c ja ln e . Mo z e m y p r z yj¸a ´c
x
0
= 0 , y
0
= 0 . P o t e n c ja l t e g o p o la
P r a c a
W =
Z
Z
x
y
t=x
t=0
+
t=y
yt − t
2
−t
2
t=0
= yx − x
2
− y
2
.
U( x, y) =
( y − 2 t) dt +
( −2 t) dt =
0
0
S t ¸a d
W = U( 0 , 0 ) − U( 2 , 0 ) = 4 .
D E FIN ICJA . P latem powierzchniowym gladkim n a z ywa m y p o wie r z c h n i¸e
S = {( x, y, z) : z = h( x, y) , ( x, y) ∈ D},
g d z ie D ⊂ R
2
t o o b s z a r r e g u la r n y o r a z h
′
x
, h
′
y
s ¸a c i¸a g le we wn ¸e t r z u D. P owierzch
nia regularna (plat regularny) t o s u m a s ko ´n c z o n e j lic z b y p la t ´o w g la d kic h .
D E FIN ICJA .
Za l´o z m y, z e fu n kc ja f( x, y, z) je s t o g r a n ic z o n a n a p la c ie r e g u la r n ym S. P la t S
d z ie lim y n a n p la t ´o w S
1
, . . . , S
n
. P r z e z ∆
i
o z n a c z a m y p o le p la t a S
i
, a n a jwi¸e ks z ¸
z e ´s r e d n ic z b io r ´o w S
1
, . . . , S
n
n a z ywa m y norma podzialu. N a ka z d ym
p la c ie S
i
wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( x
i
, y
i
, z
i
) . Two r z ym y sume calkowa
σ
n
= f( x
1
, y
1
, z
1
) ∆
1
+ f( x
2
, y
2
, z
2
) ∆
2
+ + f( x
n
, y
n
, z
n
) ∆
n
.
Ta k p o s t ¸e p u je m y d la n = 2 , 3 , . . . o t r z ym u j¸a c p e wie n c i¸a g p o d z ia l´o w p o wie r z c h n i
S. Ci¸a g t e n n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialow, je z e li n o r m a p o d z ia lu d ¸a z y
d o z e r a p r z y n → ∞.
Je z e li d la ka z d e g o c i¸a g u n o r m a ln e g o p o d z ia l´o w p la t a S is t n ie je s ko ´n c z o n a g r a n ic a
lim
n→∞
σ
n
( t a ka s a m a b e z wz g l¸e d u n a wyb ´o r p la t ´o w S
i
o r a z p u n kt ´o w ( x
i
, y
i
, z
i
) ) ,
t o g r a n ic ¸e t ¸e n a z ywa m y calka powierzchniowa niezorientowana funkcji f( x, y, z) po
placie S i o z n a c z a m y
RR
S
f( x, y, z) dS.
L A S N O
´
S CI ( Za kla d a m y, z e p o d a n e t u c a lki is t n ie j¸a ) .
1 .
RR
RR
RR
S
g( x, y, z) dS;
f( x, y, z) ± g( x, y, z)
dS =
S
f( x, y, z) dS ±
S
RR
S
f( x, y, z) dS;
3 . je ´s li S je s t r o z c i¸e t a n a S
1
i S
2
, t o
RR
2 .
S
λf( x, y, z) dS = λ
RR
RR
RR
S
f( x, y, z) dS =
S
1
f( x, y, z) dS +
S
2
f( x, y, z) dS.
TW
IE R D ZE N IE . Je z e li fu n kc ja f( x, y) je s t c i¸a g la n a p la c ie g la d kim
S = {( x, y, z) :
z = h( x, y) , ( x, y) ∈ D}, t o
ZZ
ZZ
q
f( x, y, z) dS =
f[x, y, h( x, y) ]
1 + [h
′
x
( x, y) ]
2
+ [h
′
y
( x, y) ]
2
dxdy.
S
D
D E FIN ICJA .
Za l´o z m y, z e n a p o wie r z c h n i r e g u la r n e j S = {( x, y, z) : z = h( x, y) , ( x, y) ∈ D}
s ¸a o kr e ´s lo n e fu n kc je P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) . Mo z e m y p r z yjm o wa ´c , z e je s t
o kr e ´s lo n e p o le we kt o r o we : ka z d e m u p u n kt o wi ( x, y, z) je s t p r z yp o r z ¸a d ko wa n y we k
t o r
F
( x, y, z) = [P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) ]. P o wie r z c h n ia S m a d wie s t r o n y,
je d n ¸a z n ic h ( d o wo ln ¸a ) n a z ywa m y dodatnia, d r u g ¸a ujemna. N ie c h
N
( x, y, z) o z n a c z a
we kt o r o d lu g o ´s c i 1 , z a c z e p io n y w p u n kc ie ( x, y, z) , p r o s t o p a d ly d o p o wie r z c h n i S,
s kie r o wa n y o d s t r o n y u je m n e j d o s t r o n y d o d a t n ie j t e j p o wie r z c h n i.
Calka powierzchniowa zorientowana t r ´o jki fu n kc ji [P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) ]
p o d o d a t n ie j s t r o n ie p o wie r z c h n i S t o
ZZ
F
( x, y, z) ◦
N
( x, y, z) dS.
→
S
RR
S
P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy.
Ca lk¸e t ¸e o z n a c z a m y
L A S N O
´
S
´
C. Je z e li S
+
je s t d o d a t n i¸a , a S
−
u je m n ¸a s t r o n ¸a p o wie r z c h n i S, t o
RR
S
−
P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy =
RR
−
S
+
P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy.
TW IE R D ZE N IE .
Za l´o z m y, z e fu n kc je P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) s ¸a c i¸a g le n a p o wie r z c h n i r e g u
la r n e j S = {( x, y, z) : z = h( x, y) , ( x, y) ∈ D}. N ie c h d o d a t n i¸a s t r o n ¸a p o wie r z c h n i
S b ¸e d z ie s t r o n a g ´o r n a S
g
( t z n . t a s t r o n a , z e k¸a t α m i¸e d z y we kt o r e m
→
N
( x, y, z) a
→
k
s p e ln ia wa r u n e k 0 ≤ α ≤ 9 0
◦
) . W
we r s o r e m
t e d y
ZZ
P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy =
S
g
ZZ
−P[x, y, h( x, y) ]h
′
x
( x, y) − Q[x, y, h( x, y) ]h
′
y
( x, y) + R[x, y, h( x, y) ]
dxdy.
D
TW IE R D ZE N IE ( Ga u s s a Os t r o g r a d s kie g o ) .
Za l´o z m y, z e fu n kc je P, Q, R, P
x
, Q
′
y
, R
′
z
s ¸a c i¸a g le w o b s z a r z e B ⊂ R
3
n o r m a ln ym
wz g l¸e d e m ws z ys t kic h t r z e c h p la s z c z yz n u kla d u ws p ´o lr z ¸e d n yc h . P o n a d t o , n ie c h b r z e g
b r yly B b ¸e d z ie p o wie r z c h n i¸
r e g u la r n ¸
i n ie c h S o z n a c z a
z e wn ¸e t r z n ¸
s t r o n ¸e t e j
p o wie r z c h n i ( s t r o n ¸a d o d a t n i¸a je s t s t r o n a z e wn ¸e t r z n a ) . W
t e d y
ZZ
P( x, y, x) dydz + Q( x, y, x) dxdz + R( x, y, z) dxdy =
ZZZ
S
P
x
( x, y, z) + Q
′
y
( x, y, z) + R
′
z
( x, y, z)
dxdydz.
B
P R ZY K L A D . Ob lic z y´c s t r u m ie ´n S p o la we kt o r o we g o
F
( x, y, z) = [2 x, 3 y, 4 z]
p r z e c h o d z ¸a c y p r z e z we wn ¸e t r z n ¸a s t r o n ¸e s fe r y S : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 .
RR
S =
S
P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy =
RRR
P
x
( x, y, z) + Q
′
y
( x, y, z) + R
′
z
( x, y, z)
dxdydz,
g d z ie B t o ku la ( b r yla o g r a n ic z o n a p o wie r z c h n i¸a S) o p is a n a n ie r ´o wn o ´s c i¸
−
B
x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1 . Za t e m
ZZZ
ZZZ
1 dxdydz = −9 obj( B) = −9
4
S = −
( 2 +3 +4 ) dxdydz = −9
π = −1 2 π.
B
B

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl