w 16 całka potrójna, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKA P OT ROJN A
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgledem plaszczyzny 0 xy, t o
z b i´o r
B
xy
= {( x,y,z) : ( x, y) ∈ D, p( x, y) ≤ z ≤ q( x, y) },
g d z ie D ⊂ R
2
t o
o b s z a r r e g u la r n y, fu n kc je p( x, y) i q( x, y) s ¸
c i¸a g le
w D i s p e ln ia j¸
w n im wa r u n e k p( x,y) ≤ q( x,y) .
P o d o b n ie
d e fi n iu je
s i¸e
o b s z a r y n o r m a ln e
wz g l¸e d e m
p o z o s t a lyc h
p la s z c z yz n
u kla d u
ws p ´o lr z ¸e d n yc h .
D E FIN ICJA . Obszarem regularnym n a z ywa m y s u m
s ko ´n c z o n e j lic z b y o b s z a r ´o w
n o r m a ln yc h .
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e
fu n kc ja f( x, y, z) je s t o g r a n ic z o n a
w o b s z a r z e r e g u la r n ym
B. D z ie lim y z b i´o r B n a n d o wo ln yc h
o b s z a r ´o w r e g u la r n yc h
B
1
, .. . , B
n
o
p a r a m i
r o z l¸a c z n yc h
wn ¸e t r z a c h . N ie c h
i
, d la i = 1 , 2 ,. . .n, o z n a c z a
o b j¸e t o ´s ´c
o b s z a r u B
i
.
N a jwi¸e ks z ¸
z e ´s r e d n ic
z b io r ´o w B
1
, .. . ,B
n
o z n a c z a m y p r z e z δ
n
i n a z ywa m y norma
podzialu. W
ka z d ym
z b io r z e B
i
wyb ie r a m y d o wo ln ie
p u n kt
( x
i
, y
i
, z
i
) . Two r z ym y
sume calkowa
σ
n
= f( x
1
, y
1
,z
1
) ∆
1
+ f( x
2
, y
2
, z
2
) ∆
2
+ + f( x
n
, y
n
, z
n
) ∆
n
.
Ta k p o s t ¸e p u je m y d la n = 2 , 3 , .. . o t r z ym u j¸a c p e wie n c i¸a g p o d z ia l´o w z b io r u B.
Ci¸a g t e n n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialow, je z e li lim
n→∞
δ
n
= 0 .
Je z e li d la ka z d e g o c i¸a g u
n o r m a ln e g o p o d z ia l´o w z b io r u B is t n ie je s ko ´n c z o n a g r a n ic a
lim
n→∞
σ
n
( t a ka
s a m
b e z
wz g l¸e d u
n a
wyb ´o r z b io r ´o w B
i
o r a z
p u n kt ´o w ( x
i
, y
i
, z
i
) ) ,
t o
g r a n ic ¸e
t ¸e
n a z ywa m y calka potrojna funkcji f( x, y, z) w zbiorze B i o z n a c z a m y
RRR
B
f( x,y, z) dxdydz, a
fu n kc j¸e f n a z ywa m y calkowalna w z b io r z e B.
IN TE R P R
E TA CJA . Je z e li ̺( x, y, z)
o z n a c z a
g ¸e s t o ´s ´c
m a t e r ia lu
w p u n kc ie
( x, y, z) ,
RRR
B
̺( x, y, z) dxdydz.
t o
m a s a
o b s z a r u B je s t r ´o wn a
TW
IE R
D ZE N IE .
Fu n kc ja
c i¸a g la
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym
je s t w n im
c a lko wa ln a .
L A S N O
´
S CI. Za kla d a m y, z e
fu n kc je f( x, y, z)
o r a z g( x, y, z)
s ¸
c a lko wa ln e
w o b
s z a r z e
r e g u la r n ym B.
RRR
RRR
B
f( x,y,z) dxdydz ±
RRR
f( x,y, z) ± g( x, y, z)
dxdydz =
B
g( x, y,z) dxdydz;
B
RRR
RRR
B
f( x, y,z) dxdydz;
B
λf( x,y, z) dxdydz = λ
je ´s li B je s t s u m
o b s z a r ´o w r e g u la r n yc h B
1
i B
2
o
r o z l¸a c z n yc h
wn ¸e t r z a c h , t o
RRR
RRR
RRR
B
2
f( x, y,z) dxdydz;
B
f( x,y, z) dxdydz =
B
1
f( x, y,z) dxdydz +
RRR
o b j¸e t o ´s ´c
b r yly B je s t r ´o wn a
B
1 dxdydz.
TW
IE R
D ZE N IE . Gd y f je s t c i¸a g la
w o b s z a r z e
n o r m a ln ym B
xy
, t o
ZZZ
ZZ
h
Z
i
dxdy.
q(x,y)
f( x, y,z) dxdydz =
f( x, y, z) dz
B
xy
D
p(x,y)
P R
ZY K
L A D . S t o s u j¸a c
c a lki p o t r ´o jn e
z n a le ´z ´c
ws p ´o lr z ¸e d n e
´s r o d ka
m a s y ( x
s
, y
s
, z
s
)
p i¸e c io ´s c ia n u B o
wie r z c h o lka c h
( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) ,
je z e li g ¸e s t o ´s ´c ̺( x, y, z) = 2 .
B r yla B d a s i¸e o p is a ´c n a s t ¸e p u j¸a c o : {( x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1 }.
P o d s t a wia m y d o
wz o r u
n a
ws p ´o lr z ¸e d n e ´s r o d ka
m a s y
ZZZ
ZZZ
1
m
1
m
x
s
=
x̺( x,y, z) dxdydz, y
s
=
y̺( x, y, z) dxdydz,
B
B
ZZZ
ZZZ
1
m
z
s
=
z̺( x, y, z) dxdydz, m =
̺( x,y, z) dxdydz.
B
B
Za t e m
m =
h
R
i
R
R
1
0
x
0
1
0
2 dz
dy
dz =
h
R
i
dx =
R
R
R
R
R
z=1
z=0
dy
y=x
y=0
dx =
1
0
= 1 ;
1
0
x
0
1
0
x
0
1
0
x
0
x
2
2 z
2 dy
dx =
2 y
2 xdx =
h
R
i
dz =
R
R
1
0
x
0
1
0
2 xdz
x
s
=
1
dy
R
R
R
R
R
R
z=1
z=0
xdy
y=x
y=0
dx =
1
0
x
0
1
0
x
0
1
0
1
0
2 x
2
dx =
3
;
2 xz
dx =
2 xdy
dx =
2 xy
h
R
i
R
R
R
R
R
R
1
0
x
0
1
0
2 ydz
1
0
x
0
1
0
y=x
y=0
dx =
1
y
2
0
x
2
dx =
3
;
y
s
=
dy
dz =
2 ydy
dx =
h
R
i
R
R
R
R
R
R
R
1
0
x
0
1
0
2 zdz
1
0
x
0
z=1
z=0
dy
1
0
x
0
1
z
2
0
xdx =
2
;
z
s
=
dy
dz =
dx =
1 dy
dx =
D E FIN ICJA . W spolrzedne sferyczne, t o
lic z b y ̺ ∈ [0 , ∞) , ϕ ∈ [0 , 2 π], Θ ∈ [0 ,π]
t a kie , z e
x = ̺ s in Θ c o s ϕ, y = ̺ s in Θ s in ϕ, z = ̺ c o s Θ.
TW IE R D ZE N IE . Gd y S je s t z b io r e m B ” o p is a n ym ” we ws p ´o lr z ¸e d n yc h s fe r yc z n yc h ,
t z n . S = {( ̺,ϕ, Θ) : ( ̺ s in Θ c o s ϕ,̺ s in Θ s in ϕ,̺ c o s Θ) ∈ B} i g d y fu n kc ja f je s t
c i¸a g la
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym B, t o
ZZZ
ZZZ
f( ̺ s in Θ c o s ϕ, ̺ s in Θ s in ϕ, ̺ c o s Θ) ̺
2
s in Θ d̺dϕdΘ.
f( x, y, z) dxdydz =
B
S
Cz yn n ik ̺
2
s in Θ t o
o d p o wie d n i jakobian.
P R
ZY K
L A D . Ob lic z y´c
m a s ¸e
ku li o
p r o m ie n iu
wyko n a n e j z
m a t e r ia lu , kt ´o r e g o
g ¸e s t o ´s ´c
w ka z d ym
p u n kc ie
je s t r ´o wn a
o d le g lo ´s c i t e g o
p u n kt u
o d
´s r o d ka
t e j ku li.
Je ´s li u kla d
ws p ´o lr z ¸e d n yc h
wyb ie r z e
m y t a k, b y je g o
´s r o d
e k b yl ´s r o d k
ie m
ku li K, t o
p
RRR
K
p
g ¸e s t o ´s ´c ̺( x, y, z) =
x
2
+ y
2
+ z
2
, a
wi¸e c m =
x
2
+ y
2
+ z
2
dxdydz. K
u la
K t o
o b s z a r o p is a n y we ws p ´o lr z ¸e d n yc h s fe r yc z n yc h ja ko
S = {( ̺,ϕ, Θ) : 0 ≤ ̺ ≤ 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π, 0 ≤ Θ ≤ π}.
p
Oc z ywi´s c ie
x
2
+ y
2
+ z
2
= ̺. Za t e m
ZZZ
Z
h
Z
Z
i
1
2π
π
̺ ̺
2
s in Θ d̺dϕdΘ =
̺
3
s in Θ dΘ
m =
dϕ
d̺ =
S
0
0
0
Z
h
Z
Z
h
Z
Z
i
d̺ =
i
1
2π
1
2π
1
Θ=π
Θ=0
dϕ
1
0
= π.
−̺
3
c o s Θ
2 ̺
3
dϕ
4 π̺
3
d̺ = 4 π
4
̺
4
d̺ =
0
0
0
0
0

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl