w 11 całki niewłasciwe, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKI N I E WLASCI WE
D E FIN ICJA . Za kla d a m y, z e d la ka z d e g o T > a fu n kc ja f( x) je s t c a lko wa ln a
w p r z e d z ia le [a; T]. Je z e li is t n ie je g r a n ic a lim
T→∞
R
T
a
f( x) dx, t o n a z ywa m y j¸
R
∞
a
f( x) dx. Gd y
g r a n ic a t a je s t s ko ´n c z o n a , t o m ´o wim y, z e c a lka je s t z b ie z n a . Za p is u j¸a c kr ´o t ko :
Z
calka niewlasciwa funkcji f( x) w przedziale [a;∞) i o z n a c z a m y
∞
Z
T
f( x) dx = lim
T→∞
f( x) dx:
a
a
P o d o b n ie ,
Z
a
Z
a
f( x) dx = lim
T→−∞
f( x) dx:
−∞
T
P R ZY K L A D 1 ( c a lka n ie wla ´s c iwa je s t z b ie z n a d o 1 ) .
Z
∞
1
x
2
dx = lim
Z
T
h
−
1
i
T
−
1
x
−2
dx = lim
T→∞
= lim
T→∞
T
+ 1
= 1 :
T→∞
x
1
1
1
P R ZY K L A D 2 ( c a lka je s t rozbiezna do +∞) .
Z
∞
Z
T
T
1
= lim
T→∞
x
dx = lim
x
dx = lim
ln x
ln T − ln 1
= ∞
T→∞
T→∞
1
1
P R ZY K L A D 3 . Ca lka
R
0
−∞
c o s xdx je s t r o z b ie z n a , g d y˙z n ie is t n ie je g r a n ic a :
Z
0
0
T
= lim
T→−∞
lim
T→−∞
c o s xdx = lim
T→−∞
s in x
s in 0
− s in T
:
T
D E FIN ICJA .
Za kla d a m y, z e d la ka z d e g o c ∈ [a; b) fu n kc ja f( x) je s t c a lko wa ln a w [a;c].
P o n a d t o z a kla d a m y, z e lim
x→b
−
f( x) = +∞
R
c
lu b lim
x→b
−
f( x) = −∞: Je z e li
R
b
a
f( x) dx. Gd y g r a n ic a je s t s ko ´n c z o n a , t o
m ´o wim y, z e c a lka je s t z b ie z n a . Za p is u j¸a c kr ´o t ko :
Z
b
Z
c
f( x) dx = lim
c→b
−
f( x) dx:
a
a
P o d o b n ie , je ´s li d la ka z d e g o c ∈ ( a; b] fu n kc ja f( x) je s t c a lko wa ln a w p r z e d z ia le
[c;b] i je ´s li lim
x→a
+
|f( x) | = ∞, t o calke niewlasciwa funkcji f( x) w przedziale
( a;b] d e fi n iu je m y ja ko
Z
Z
b
b
f( x) dx = lim
c→a
+
f( x) dx:
a
c
P R ZY K L A D 1 .
Z
1
1
x
dx = lim
Z
1
1
c
= lim
c→0
+
x
dx = lim
ln
|x|
ln 1
− ln c
= ∞:
c→0
+
c→0
+
0
c
P R ZY K L A D 2 .
Z
Z
c
−
√
−x
c
−1
= lim
c→0
−
−
√
√
√
−x
dx = lim
√
−x
dx = lim
c−( −
1 )
= 1 :
c→0
−
c→0
−
−1
−1
is t n ie je g r a n ic a lim
c→b
−
a
f( x) dx, t o n a z ywa m y j¸a calka niewlasciwa funkcji
f( x) w przedziale [a;b) i o z n a c z a m y
0

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl