w 09 całka oznaczona, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKA OZN ACZON A
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t o g r a n ic z o n a w p r z e d z ia le d o m kn i¸e t ym
[a, b]. D z ie lim y p r z e d z ia l [a, b] n a n d o wo ln yc h c z ¸e ´s c i p u n kt a m i x
1
, . .. , x
n−1
t a kim i, b y a = x
0
< x
1
< < x
n−1
< x
n
= b. N ie c h
i
= x
i
− x
i−1
d la
i = 1 , 2 , .. . n. N a jwi¸e ks z ¸
lic z b
1
,. . . , ∆
n
( d lu g o ´s ´c
n a jd lu z s z e g o
p r z e d z ia lu
[x
i−1
, x
i
])
o z n a c z a m y p r z e z δ
n
i n a z ywa m y norma podzialu. W
ka z d ym
p r z e d z ia le
[x
i−1
, x
i
] wyb ie r a m y d o wo ln ie
p u n kt ξ
i
. Two r z ym y sume calkowa
σ
n
= f( ξ
1
) ∆
1
+ f( ξ
2
) ∆
2
+ + f( ξ
n
) ∆
n
.
Ta k p o s t ¸e p u je m y d la n = 2 , 3 , .. . o t r z ym u j¸a c
p e wie n
c i¸a g
p o d z ia l´o w p r z e d z ia lu
[a, b]. Ci¸a g
t e n
n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialow, je z e li lim
n→∞
δ
n
= 0 .
Je z e li d la
ka z d e g o
c i¸a g u
n o r m a ln e g o
p o d z ia l´o w p r z e d z ia lu
[a, b] is t n ie je
s ko ´n
c z o n a
g r a n ic a
lim
n→∞
σ
n
( t a ka
s a m
b e z
wz g l¸e d u
n a
wyb ´o r p u n kt ´o w p o d z ia lu x
i
o r a z
p u n kt ´o w ξ
i
) , t o
g r a n ic ¸e
t ¸e
n a z ywa m y calka oznaczona (R iemanna) fu n kc ji f
R
b
a
f( x) dx. M´o wim y wt e d y, z e f je s t calkowalna
w p r z e d z ia le
[a,b] i o z n a c z a m y
w [a, b].
IN TE
TA CJA
GE
OME
TR Y CZN A .
Je z e li fu n kc ja f je s t
c a lko wa ln a
i n ie u je m n a
w p r z e d z ia le
[a, b], t o
p o le
z b io r u
R
b
a
f( x) dx.
D = {( x,y) : a ≤ x ≤ b, 0
≤ y ≤ f( x) }
je s t
r ´o wn e
R
R
R
a
b
f( x) dx = −
b
a
f( x) dx. P o n a d t o ,
a
a
f( x) dx = 0 .
U W
A GA . P
r z yjm u je m y
L A S N O
´
S CI. Za kla d a m y, z e
fu n kc ja f je s t
c a lko wa ln a
w p e wn ym
p r z e d z ia le
z a wie r a j¸a c ym
p u n kt y a, b, c.
R
R
R
b
a
b
a
f( x) dx ±
b
a
g( x) dx
1 .
f( x) ± g( x)
dx =
R
R
b
a
λf( x) dx = λ
b
a
f( x) dx
2 .
R
R
R
b
a
f( x) dx =
c
a
f( x) dx +
b
c
f( x) dx
3 .
R
b
a
f( x) dx ≤ M( b−a) .
4 . Je z e li m ≤ f( x)
≤ M d la x ∈ [a, b], t o
m( b−a)
≤
R
a
−a
f( x) dx = 0 .
5 . Je z e li f je s t
n ie p a r z ys t a
i c a lko wa ln a
w [−a, a], t o
R
R
a
−a
f( x) dx = 2
a
0
f( x) dx.
6 . Je z e li f je s t
p a r z ys t a
i c a lko wa ln a
w [−a,a], t o
7 . Je z e li f je s t
c i¸a g la
w [a, b], t o
is t n ie je c ∈ ( a, b)
t a kie , z e
Z
b
f( x) dx = f( c) ( b − a) .
a
TW
IE
R D ZE N IE
.
Fu n kc ja f c i¸a g la
w
[a, b] je s t
c a lko wa ln a
w t ym
p r z e d z ia le .
R
P o n a d t o , g d y
f( x) dx = F ( x) + C, t o
Z
b
f( x) dx = F ( b) − F ( a) .
a
OZN A CZE N IE .
Zwykle F ( b) − F ( a)
b
a
b
a
.
o z n a c z a m y p r z e z
F( x)
lu b F ( x)
ZY K
L A D
1 .
Z
π
π
0
= s in π − s in
c o s xdx =
s in x
= 0 .
0
a
2
+
y
2
x
2
ZY K
L A D
2 . Ob lic z y´c
p o le
o b s z a r u
o g r a n ic z o n e g o
e lip s ¸a :
b
2
= 1 .
Ze
wz g l¸e d u
n a
s ym e t r i¸e ,
Z
i
a
√
√
b
a
4 b
a
a
2
− x
2
+
1
x
a
a
2
a
2
a r c s in
P = 4
a
2
− x
2
dx =
2
x
0
0
4 b
a
−
1
4 b
a
1
2
a
2
π
2
a
2
a r c s in
=
a r c s in
=
= πab.
´
S CI:
CA
L K
OW
A N IE
R ZE
Z CZE ¸
Z
Z
b
b
b
a
u( x) v
′
( x) dx =
u
′
( x) v( x) dx
u( x) v( x)
−
a
a
Za kla d a m y t u , z e
fu n kc je u( x)
i v( x)
m a j¸
c i¸a g le
p o c h o d n e .
ZY K
L A D .
Z
Z
1
1
u=x v
′
=e
x
u
′
=1 v=e
x
1
0
1
0
= e−( e−e
0
) = 1
xe
x
dx =
xe
x
e
x
dx = 1 e
1
−0 e
0
−
e
x
=
−
0
0
CA
L K
OW
A N IE
R ZE
Z P
OD S TA W
IE
N IE
:
Z
Z
b
β
f[ϕ( t) ]ϕ
′
( t) dt, g d z ie x = ϕ( t)
f( x) dx =
a
α
Za kla d a m y t u , z e
fu n kc ja f je s t
c i¸a g la
w z b io r z e
wa r t o ´s c i fu n kc ji ϕ, z e
fu n kc ja ϕ
c i¸a g l¸
p o c h o d n ¸
w p r z e d z ia le
[α, β] o r a z
z e a = ϕ( α) , b = ϕ( β) .
ZY K
L A D .
√
Z
Z
π
3
π
x
π
3
3
=t
3
dx=dt dx=3dt
x=0⇒t=0 x=π⇒t=
3
x
π
3
0
c o s
dx =
= 3
c o s tdt = 3 s in t
= 3 ( s in
−s in
0 ) =
0
0

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl