w 05 macierze i wyznaczniki, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporządkowanie każdej
uporządkowanej parze liczb naturalnych
,
1 , 1
, gdzie
dokładnie jednej
liczby
.
Macierz zapisujemy zwykle
lub
, lub
.
Gdy
, to macierz jest kwadratowa, a liczba
to stopień macierzy.
DEFINICJA. Jeśli
oraz
, to suma macierzy
i
to macierz
, gdzie
.
DEFINICJA. Jeśli
oraz
, to różnica macierzy
i
to macierz
, gdzie
.
DEFINICJA. Jeśli
, to iloczyn macierzy
przez liczbę
to macierz
, gdzie
.
DEFINICJA. Jeśli
oraz
, to iloczyn macierzy
i
to macierz
, gdzie
.
UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
DEFINICJA. Macierz transponowana do macierzy
to macierz
, gdzie
.
DEFINICJA. Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa
o elementach
1 0
0 1
… 0
… 0
1,
, to znaczy
.
0,
0 0
… 1
WŁASNOŚĆ. Jeśli
jest macierzą kwadratową
-tego stopnia, a
jest macierzą jednostkową
.
-tego stopnia, to
det
DEFINICJA. Wyznacznik macierzy kwadratowej
to liczba
zdefiniowana
następująco:
det
1.
gdy
jest macierzą pierwszego stopnia, to
;
2.
gdy
2
jest macierzą
-tego stopnia i
(zakładamy, że umiemy liczyć wyznaczniki
1
macierzy stopnia
), to
1
det
det
det
det
,
gdzie
jest macierzą powstałą z macierzy
przez skreślenie
–tego wiersza oraz
-tej kolumny.
DEFINICJA. Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej
o niezerowym wyznaczniku to
taka macierz
, że
.
DEFINICJA. Dopełnienie algebraiczne elementu
macierzy kwadratowej
to
1
det
liczba
.
det 0
TWIERDZENIE. Jeżeli
, to
.
WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW. Zakładamy, że
jest macierzą kwadratową stopnia
.
det det
1.
.
det
2.
(rozwinięcie względem
-tego wiersza).
3.
det
(rozwinięcie względem
-tej kolumny).
4.
Gdy
det 0
zawiera wiersz (lub kolumnę) złożoną z samych zer, to
.
5.
Jeśli macierz
powstała z
przez zamianę dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami,
det det
to
.
6.
Jeśli macierz
przez dodanie do elementów dowolnego wiersza
odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną stałą, to
det det
powstała z
(podobnie dla kolumn).
DEFINICJA. Minor stopnia
macierzy
(dla
i jednocześnie
) to
wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia
powstałej z
przez skreślenie odpowiedniej
liczby wierszy i kolumn.
DEFINICJA. Rząd
macierzy
to najwyższy ze stopni niezerowych minorów tej macierzy.
WŁASNOŚCI. Rząd macierzy nie zmieni się, gdy
1.
do wszystkich elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego
wiersza pomnożone przez dowolną stałą (podobnie dla kolumn);
2.
wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) pomnożymy przez dowolną
stałą różną od zera;
3.
skreślimy wiersz (lub kolumnę) złożoną z samych zer;
Ponadto
.

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl