w 03 zastosowanie pochodnych, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

ZAST OSOWAN I A P OCH ODN YCH
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc je
u( x)
o r a z
v( x)
s ¸a o kr e ´s lo n e w
p e wn ym
s ¸a s ie d z wie S p u n kt u a o r a z z e v( x)
= 0
d la x ∈ S. M´o wim y,
u(x)
v(x)
0
0
z e ilo r a z
je s t w p u n kc ie a symbolem nieoznaczonym typu
,
g d y lim
x→a
u( x) = 0
o r a z
lim
x→a
v( x) = 0 .
P o d o b n ie d e fi n iu je s i¸e s ym b o le n ie o z n a c z o n e ( z a r ´o wn o w p u n kc ie a
ja k i w +∞ o r a z w −∞) t yp u
+∞−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
,
,
,
,
,
∞
,
0
0
,
1
∞
,
∞
0
.
∞
∞
Cz t e r y p ie r ws z e s ym b o le t u o p is a n e b ¸e d ¸e ws p ´o ln ie z a p is ywa l
.
TW IE R D ZE N IE ( R e g u la d e L ’H o s p it a la ) .
Za l´o z m y, z e fu n kc je
u( x)
o r a z
v( x)
s ¸a r ´o z n ic z ko wa ln e w p e wn ym
s ¸a s ie d z t wie S p u n kt u a, z e v
′
( x)
= 0
d la
x ∈ S o r a z z e wyr a z e n ie
u(x)
v(x)
0
0
∞
∞
je s t w p u n kc ie a s ym b o le m
n ie o z n a c z o n ym
t yp u
lu b
.
lim
x→a
u
′
(x)
Je z e li is t n ie je ( s ko ´n c z o n a lu b
n ie s ko ´n c z o n a ) g r a n ic a
v
′
(x)
; t o
lim
x→a
u(x)
is t n ie je
o r a z
v(x)
′
u( x)
v( x)
u
( x)
v
′
( x)
:
lim
x→a
= lim
x→a
U W A GA . W
t e j r e g u le z a m ia s t
x → a m o z n a wp is a ´c
x → a
+
,
x → a
−
, x → ∞, x → −∞.
TW IE R D ZE N IE ( L a g r a n g e ’a o wa r t o ´s c i ´s r e d n ie j) .
Je z e li fu n kc ja f je s t c i¸a g la w p r z e d z ia le [a; b] i r ´o z n ic z ko wa ln a w ( a; b) ,
t o is t n ie je c ∈ ( a; b)
t a ki, z e
f( b)
−
f( a)
b − a
′
= f
( c) :
IN TE R P R E TA CJA GE OME TR Y CZN A .
N a wykr e s ie fu n kc ji y = f( x)
is t n ie je t a ki p u n kt
( c; f( c) ) , z e s t yc z n a
w t ym
p u n kc ie d o
wykr e s u
fu n kc ji je s t r ´o wn o le g la
d o
p r o s t e j p r z e
c h o d z ¸a c e j p r z e z p u n kt y ( a; f( a) ) ; ( b; f( b) ) .
W N IOS K I.
1 . Fu n kc ja o p o c h o d n e j s t a le d o d a t n ie j w p e wn ym
p r z e d z ia le je s t w
t ym p r z e d z ia le r o s n ¸a c a .
D owod. N ie c h x
1
o r a z x
2
b ¸e d ¸a d o wo ln ym i p u n kt a m i z p r z e d z ia lu
t a kim i, z e
x
1
< x
2
. Z t wie r d z e n ia L a g r a n g e ’a z a s t o s o wa n e g o
d o p r z e d z ia lu
[x
1
; x
2
] wie m y, z e is t n ie je t a ki c ∈ ( x
1
; x
2
) , z e
f(x
2
)
−
f(x
1
)
x
2
−x
1
= f
′
( c) > 0
( p o c h o d n a w ka z d ym
p u n kc ie je s t d o d a t
n ia ) . Za t e m
x
1
< x
2
im p liku je f( x
1
) < f( x
2
) , c z yli fu n kc ja je s t
r o s n ¸a c a .
2 . Fu n kc ja o p o c h o d n e j s t a le u je m n e j w p e wn ym
p r z e d z ia le je s t w
t ym
p r z e d z ia le m a le j¸a c a .
D owod. N ie c h x
1
o r a z x
2
b ¸e d ¸a d o wo ln ym i p u n kt a m i z p r z e d z ia lu
t a kim i, z e
f(x
2
)−f(x
1
)
x
2
−x
1
x
1
< x
2
. Z t wie r d z e n ia
L a g r a n g e ’a
=
f
′
( c) < 0 : Za t e m
x
1
< x
2
im p liku je f( x
1
) > f( x
2
) , c o o z n a c z a ,
z e f m a le je .
3 . Fu n kc ja c i¸a g la w p r z e d z ia le
[a;b], r ´o z n ic z ko wa ln a w ( a; b)
p o c h o d n e j s t a le r ´o wn e j 0 je s t s t a la w [a; b].
D owod. N ie c h x b ¸e d z ie d o wo ln ym
p u n kt e m
z p r z e d z ia lu
( a; b]. Z
t wie r d z e n ia L a g r a n g e ’a z a s t o s o wa n e g o d o p r z e d z ia lu
[a;x] wie m y,
f(x)−f(a)
x−a
= f
′
( c) = 0 : Za t e m
z e
f( x) = f( a) , fu n kc ja f je s t s t a la .
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t o kr e ´s lo n a w p e wn ym o t o c z e n iu
p u n kt u x
0
. M´o wim y, z e fu n kc ja t a m a w p u n kc ie x
0
maksimum lokalne,
je z e li is t n ie je t a kie s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x
0
, z e
^
f( x) < f( x
0
) :
x∈S
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t o kr e ´s lo n a w p e wn ym o t o c z e n iu
p u n kt u x
0
. M´o wim y, z e fu n kc ja t a m a w p u n kc ie x
0
minimum lokalne,
je z e li is t n ie je t a kie s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x
0
, z e
^
f( x) > f( x
0
) :
x∈S
W A R U N E K K ON IE CZN Y IS TN IE N IA E K S TR E MU M.
Je z e li fu n kc ja f je s t r ´o z n ic z ko wa ln a w p r z e d z ia le o t wa r t ym
i m a e k
s t r e m u m
w p u n kc ie x
0
z t e g o p r z e d z ia lu , t o f
′
( x
0
) = 0 .
D owod. Za l´o z m y, z e f m a w x
0
m in im u m . W
t e d y f( x)
− f( x
0
) > 0
d la x z p e wn e g o s ¸a s ie d z t wa S p u n kt u x
0
. Za t e m
d la
x ∈ S ilo r a z
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
r ´o z n ic o wy
je s t u je m n y d la x < x
0
o r a z d o d a t n i d la x > x
0
.
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
Oz n a c z a t o , z e
≥ 0 :
P o n ie wa ˙z o b ie g r a n ic e s ¸a s o b ie r ´o wn e ( p o c h o d n a is t n ie je ) , wi¸e c f
′
( x
0
) =
lim
x→x
0
lim
x→x
0
≤ 0
o r a z lim
x→x
0
f(x)
−
f(x
0
)
x−x
0
= 0 : P o d o b n ie , g d y f m a w x
0
m a ks im u m , t o g r a n ic a
le wo s t r o n n a ilo r a z u r ´o z n ic o we g o je s t n ie u je m n a , a p r a wo s t r o n n a je s t
n ie d o d a t n ia . P o n ie wa ˙z o b ie g r a n ic e s ¸a s o b ie r ´o wn e , wi¸e c g r a n ic a t a t o
z e r o .
W A R U N E K W Y S TA R CZA JA¸ CY IS TN IE N IA E K S TR E MU M ( I) .
Za l´o z m y z e fu n kc ja f je s t r ´o z n ic z ko wa ln a w p e wn ym s ¸a s ie d z t wie p u n kt u
x
0
i z e je s t c i¸a g la w x
0
. Je z e li p o c h o d n a f
′
p r z y p r z e j´s c iu p r z e z x
0
z m ie n ia z n a k z ” +” n a ” ” , t o fu n kc ja f m a m a ks im u m lo ka ln e w t ym
p u n kc ie . Je z e li p o c h o d n a f
′
p r z y p r z e j´s c iu p r z e z x
0
z m ie n ia z n a k z ” ”
n a ” +” , t o fu n kc ja f m a m in im u m
lo ka ln e w t ym
p u n kc ie .
′
D owod. Za l´o z m y, z e is t n ie je s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x
0
, z e f
( x) > 0 d la
x < x
0
; x ∈ S o r a z f
′
( x) < 0 d la x > x
0
; x ∈ S. Oz n a c z a t o , z e
fu n kc ja f p r z e c h o d z i z r o s n ¸a c e j w m a le j¸a c ¸a , a wi¸e c f( x
0
) > f( x) d la
x < x
0
; x ∈ S o r a z f( x
0
) > f( x) d la x > x
0
; x ∈ S: Za t e m f m a
m a ks im u m lo ka ln e w x
0
. P o d o b n ie , je z e li p o c h o d n a f
′
p r z y p r z e j´s c iu
p r z e z x
0
z m ie n ia z n a k z ” ” n a ” +” , t o fu n kc ja f p r z e c h o d z i z m a le j¸a c e j
w r o s n ¸a c ¸a i m a m in im u m
lo ka ln e w x
0
.
W A R U N E K W Y S TA R CZA JA¸ CY IS TN IE N IA E K S TR E MU M ( II) .
Za l´o z m y z e fu n kc ja f m a c i¸a g l¸a p o c h o d n ¸a d r u g ie g o r z ¸e d u w p e wn ym
o t o c z e n iu p u n kt u x
0
o r a z z e f
′
( x
0
) = 0 .
1 . Je z e li f
′′
( x
0
) < 0 , t o fu n kc ja f m a
w p u n kc ie x
0
m a ks im u m
lo ka ln e .
2 . Je z e li f
′′
( x
0
) > 0 , t o fu n kc ja f m a w p u n kc ie x
0
m in im u m
lo ka ln e .
f
′′
( x
0
) = 0
3 . Za l´o z m y, z e
i z e f m a p o c h o d n e wyz s z yc h r z ¸e d ´o w
wl¸a c z n ie z p o c h o d n ¸a f
(n)
o r a z z a l´o z m y z e f
(n)
je s t c i¸a g la w x
0
.
P o n a d t o n ie c h
′′
( x
0
) = = f
(n−1)
( x
0
) = 0 ; f
(n)
( x
0
)
f
= 0 :
Je z e li n je s t lic z b ¸a n ie p a r z ys t ¸a , t o fu n kc ja f n ie m a e ks t r e m u m
w
x
0
. Je z e li n je s t lic z b ¸a p a r z ys t ¸a , t o f m a e ks t r e m u m
lo ka ln e w x
0
i t o m a ks im u m , je ´s li f
(n)
( x
0
) < 0 , a m in im u m
je ´s li f
(n)
( x
0
) > 0 .
D owod tylko czesci 1 i 2. Je z e li f
′′
( x
0
) < 0 i f
′′
je s t c i¸a g la , t o
is t n ie je t a kie o t o c z e n ie Q p u n kt u x
0
, z e f
′′
( x) < 0 d la x ∈ Q.
P o n ie wa ˙z f
′′
= ( f
′
)
′
, wi¸e c f
′
je s t fu n kc j¸a m a le j¸a c ¸a w Q. Za t e m z
wa r u n ku f
′
( x
0
) = 0 wn io s ku je m y, z e f
′
( x) > 0 d la x < x
0
; x ∈ Q
o r a z f
′
( x) < 0 d la x > x
0
; x ∈ Q. Z wa r u n ku wys t a r c z a j¸a c e g o ( I)
wie m y, z e w x
0
fu n kc ja f m a m a ks im u m lo ka ln e .
P o d o b n ie , je ´s li f
′′
( x
0
) > 0 , t o is t n ie je t a kie o t o c z e n ie Q p u n kt u x
0
,
z e fu n kc ja f
′
′
je s t r o s n ¸a c a w Q. Oz n a c z a t o , z e f
p r z y p r z e j´s c iu p r z e z
x
0
z m ie n ia z n a k z ” ” n a ” +” , a z a t e m
fu n kc ja f m a m in im u m
lo ka ln e
w x
0
.
D E FIN ICJA . L ic z b ¸e M n a z ywa m y wa r t o ´s c i¸a n a jwi¸e ks z ¸a ( m a ks im u m
g lo b a ln ym ) fu n kc ji f w z b io r z e D, je z e li
_
^
f( x
1
) = M
∧
f( x)
≤ M:
x
1
∈D
x∈D
L ic z b ¸e m n a z ywa m y wa r t o ´s c i¸a n a jm n ie js z ¸a ( m in im u m
g lo b a ln ym ) fu n kc ji
f w z b io r z e D, je z e l
_
^
f( x
2
) = m
∧
f( x)
≥ m:
x
2
∈D
x∈D
TW
IE R D ZE N IE . Fu n kc ja c i¸a g la w p r z e d z ia le d o m kn i¸e t ym
o s i¸a g a w
p e wn yc h
p u n kt a c h
t e g o
p r z e d z ia lu
s wo j¸
wa r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z ¸
i n a j
m n ie js z ¸a .
U W A GA .
A b y z n a le ´z ´c e ks t r e m a g lo b a ln e fu n kc ji f w p r z e d z ia le [a; b] wys t a r c z y:
1 . z n a le ´z ´c p u n kt y ” p o d e jr z a n e o e ks t r e m u m ” w ( a; b) ( t o z n a c z y
p u n kt y, w kt ´o r yc h p o c h o d n a je s t r ´o wn a z e r o lu b n ie is t n ie je ) ;
2 . o b lic z y´c wa r t o ´s c i fu n kc ji f w t yc h p u n kt a c h o r a z w p u n kt a c h a, b
( n a ko ´n c a c h p r z e d z ia lu ) ;
3 . z u z ys ka n yc h lic z b wyb r a ´c n a jwi¸e ks z ¸a i n a jm n ie js z ¸a .
P R ZY K L A D .
Zn a jd ´z wa r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z ¸a i n a jm n ie js z ¸a fu n kc ji f( x) =
p
( x
2
− 1 )
2
3
[−2 ;
2
].
w p r z e d z ia le
1 . D z ie d z in a fu n kc ji: D
f
= R.
S z u ka m y p u n kt ´o w ” p o d e jr z a n yc h ” o e ks t r e m u m .
P o c h o d n a : f
′
( x) =
′
2
3
=
3
( x
2
− 1 )
−
3
2 x =
( x
2
− 1 )
4x
x
2
−1
.
√
3
3
D z ie d z in a p o c h o d n e j: D
f
′
= R \ {−1 ; 1 }.
Oc z ywi´s c ie , f
′
( x) = 0 ⇔ x = 0 .
P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o e ks t r e m u m lo ka ln e fu n kc ji f t o x
0
= 0 ,
x
1
= −1 ; x
2
= 1 ( w p ie r ws z ym z n ic h p o c h o d n a s i¸e z e r u je , w
p o z o s t a lyc h p o c h o d n a n ie is t n ie je , c h o ´c fu n kc ja is t n ie je ) .
P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” n a le z ¸a c e d o r o z wa z a n e g o p r z e d z ia lu
[−2 ;
2
]
t o x
0
= 0 ; x
1
= −1 .
2 . Ob lic z a m y: f( 0 ) = 1 ; f( −1 ) = 0 ; f( −2 ) =
q
√
9 ; f(
2
) =
9
3
16
.
3
√
3 . W a r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z a t o
3
9 , wa r t o ´s ´c n a jm n ie js z a t o 0 .

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl