|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
7
Wykład dziewiąty Temat X Klasyczny rachunek logiczny Klasyczny rachunek logiczny
Teoria predykatów (Rachunek kwantyfikatorów)
Terminologia
- zmienne nazwowe (indywiduowe): x, y, z … - reprezentują nazwy jednostkowe - stałe indywiduowe (nazwy jednostkowe): a, b, c … - symbole klasycznego rachunku zdań: zmienne zdaniowe: p, q, r … funktory: ~, , Ú, Ù, º
", L - kwantyfikator ogólny, duży, czytamy: dla każdego
$, V - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny, czytamy: dla pewnego, istnieje takie … że
- Zmienna związana przez kwantyfikator - zmienna, która występuje i przy kwantyfikatorze i w wyrażeniu zdaniowym po kwantyfikatorze. Np. "x x £ y; x - zmienna związana
- Zmienna wolna - zmienna, która nie jest związana przez żaden kwantyfikator, tj. taka, która występuje tylko w wyrażeniu zdaniowym po kwantyfikatorze. Np. "x x £ y; y - zmienna wolna
- Zasięg kwantyfikatora - wszystkie zmienne wyrażenia zdaniowego, które są przez kwan- tyfikator związane. Np. W pierwszym wyrażeniu "x [A(x) ® B(x)] zasięgiem kwantyfikatora jest: [A(x) ® B(x)], w wyrażeniu $x A(x) ® B(x) zasięgiem kwantyfikatora jest A(x).
- predykaty pierwszego rzędu: A(x), B(x)… - zmienne (A, B …) reprezentują funktory zdaniotwórcze o argumentach nazwowych
- predykaty wyższych rzędów: P(x, y), Q(x, y, z) … - zmienne (P, Q …) reprezentują predykaty dwu, trójargumentowe itd.
Predykat drugiego rzędu - funktor zdaniotwórczy o argumentach należących do kategorii składniowej nazw indywidualnych lub predykatów pierwszego rzędu (do tej kategorii musi należeć przynajmniej jeden argument). Predykat n-go rzędu - funktor zdaniotwórczy o argumentach należących do kategorii składniowej nazw indywidualnych lub predykatów niższych od n, przy czym przynajmniej jeden argument musi należeć do kategorii składniowej predykatów rzędu n -1.
Rachunek predykatów pierwszego rzędu (węższy rachunek predykatów)
W wyrażeniach tego rachunku występują tylko predykaty pierwszego rzędu a kwantyfikator wiąże tylko zmienne.
Wyrażenie molekularne (atomiczne) rachunku predykatów pierwszego rzędu to najprostsze wyrażenia zdaniowe tego rachunku: zmienne zdaniowe lub wyrażenia zbudowane ze zmiennej reprezentującej predykaty pierwszego rzędu i jej argumentów, np. A(x), B(x), P(x, y), R(x, y … z). Rodzaje wyrażeń molekularnych: Predykaty jednoargumentowe pierwszego rzędu denotują cechy (własności) przedmiotów indywidualnych: A(x) - x ma cechę (własność) A.
Predykaty dwu- i wieloargumentowe pierwszego rzędu denotują dwu- i wieloargumentowe relacje (stosunki) zachodzące między przedmiotami indywidualnymi. Np. P(x, y) - x pozostaje w relacji P do y (xPy) Q(x, y, z) - relacja Q zachodzi między przedmiotami x, y i z. R (x1, x2, … , xn) - relacja R zachodzi między przedmiotami x1, x2, … , xn.
Przykłady predykatów
Predykaty jednoargumentowe: A(x) - x jest liczbą parzystą B(x) - x jest człowiekiem B(a) - a jest człowiekiem a – Sokrates, x/a: B(a) - Sokrates jest człowiekiem
Predykaty dwuargumentowe: P(x, y) - x jest wyższy od y. Q(x, y) - x jest uczniem y. Q(a, b) - a jest uczniem b. a - Arystoteles, b - Platon; x/a, y/b – Platon: Q(a, b) - Arystoteles jest uczniem Platona
Predykaty trójargumentowe: R(x, y, z) - x leży między y i z. R(a, b, c) - a leży między b i c. a - Warszawa, b - Kraków, c – Gdańsk; x/a, y/b, z/c R(a, b, c) - Warszawa leży między Krakowem a Gdańskiem.
Przykłady formuł zdaniowych z predykatami
A(x) - x jest mężczyzną B(x) - x jest człowiekiem A(x) B(x) Jeżeli x jest mężczyzną, to x jest człowiekiem.
A(x) - x jest żonaty P(x, y) - x pozostaje w związku małżeńskim z y. A(x) P(x, y) Jeżeli x jest żonaty, to x pozostaje w związku małżeńskim z y. P(x, y) - x jest równoległe do y. Q(x, y) - x jest prostopadłe do y. P(x, y) ~ Q(x, y) Jeżeli x jest równoległe do y, to x nie jest prostopadłe do y.
A(x) - x jest Polakiem P(x, y) - x jest ojcem y. [A(x) Ù P(x, y)] A(y) Jeżeli x jest Polakiem i x jest ojcem y, to y jest Polakiem.
Wyrażenia zdaniowe węższego rachunku predykatów
Rachunek predykatów pierwszego rzędu (węższy rachunek predykatów zawiera: a) wyrażenie molekularne (atomiczne) b) wyrażenia zbudowane z wyrażeń molekularnych za pomocą funktorów klasycznego rachunku zdań c) wyrażenia zbudowane z kwantyfikatora ogólnego lub szczegółowego, występującej po nim zmiennej indywidualnej i wyrażenia zdaniowego. d) dowolne wyrażenia zdaniowe zbudowane poprawnie z wyrażeń typu a), b) i c).
Przykłady formuł zdaniowych z predykatami i kwantyfikatorami
Predykaty jednoargumentowe 1) "x A(x) A(x) - x jest śmiertelny, X - ludzie; Każdy człowiek jest śmiertelny. A(x) - x jest omylny, X - ludzie; Wszyscy są omylni.
2) ~"x A(x) A(x) - x jest szczery, X - ludzie; Nie każdy jest szczery. A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Nieprawda, że wszyscy ludzie są odważni.
3) "x ~A(x) A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nikt nie jest doskonały. A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie ma altruistów.
4) $x A(x) A(x) - x jest hojny, X - ludzie; Niektórzy ludzie są hojni. A(x) - x jest optymistą; X - ludzie; Istnieją optymiści.
5) ~$x A(x) A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest doskonały. A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest altruistą.
6) $x ~A(x) A(x) - x jest bezinteresowny, X - ludzie; Są tacy, którzy nie są bezinteresowni. A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Niektórzy nie są odważni.
Predykaty dwuargumentowe
1) "x "y P(x, y) P(x, y) - x jest związany z y, X - przedmioty; Każda rzecz jest powiązana ze wszystkimi innymi. P(x, y) - x krytykuje y, X - ludzie; Wszyscy wszystkich x krytykują.
2) $x $y P(x, y) P(x, y) - x naśladuje y, X - ludzie; Są tacy, którzy naśladują innych. P(x, y) - x zna y, X - ludzie; Y- politycy. Niektórzy znają ludzi władzy (polityków).
3) "x $... |
Menu
|