w9 funkcja górnej granicy, Finanse SGGW, Matematyka

funkcjA górnej granicy całkowania

Niech f  będzie funkcją całkowalną w przedziale ,zaś α dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale.

Def:

Funkcję

nazywamy funkcją górnej granicy całkowania całki.

Tw:

Jeśli f jest funkcją całkowalną w i , to funkcja

jest ciągła w przedziale oraz  ma pochodną w każdym punkcie x, w którym funkcja podcałkowa f jest ciągła przy czym zachodzi równość .

Wniosek

Tw:

Jeśli funkcja f jest ciągła w , to funkcja

jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym

Niech funkcja f  będzie

1.       określona w przedziale <a, ¥)

2.       całkowalna w każdym przedziale <a, B>  gdzie

Def. 

Całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale <a, ¥) definiujemy wzorem

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Wówczas mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f w przedziale <a, ¥)

jest zbieżna.

Analogicznie określamy:

całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale (-¥, b>

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na każdym domkniętym przedziale to całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale (-¥,¥) definiujemy wzorem

o ile obie całki po prawej stronie są zbieżne.