|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ funkcji
Niech
Def.1 Funkcję f nazywamy wypukłą w przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych argumentów x, x1, x2 spełniających nierówność zachodzi nierówność Punkt leży poniżej lub na siecznej przechodzącej przez punkty . Krótko, ale mniej precyzyjnie Odcinek łączący dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży nad tym wykresem z wyjątkiem końców odcinka.
Def.2 Funkcję nazywamy wklęsłą na przedziale (a,b), jeżeli funkcja –f jest wypukła. To znaczy Def.2 Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych argumentów x, x1, x2 spełniających nierówność zachodzi nierówność Tw: Funkcja f mająca pochodną w przedziale (a,b) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji f leży nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie o odciętej z tego przedziału lub na tej stycznej.
Warunek wystarczający wklęsłości, wypukłości
Tw: Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w przedziale (a, b) oraz , to funkcja f jest wypukła w tym przedziale. Tw: Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w przedziale (a, b) oraz , to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale
PUNKT PRZEGIĘCIA
Zakładamy, że funkcja f jest ciągła w (a, b) oraz . Def: Punkt nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja ta jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu P i wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót.
Załóżmy, że funkcja f ma w pewnym otoczeniu pochodną rzędu drugiego.
Tw: (Warunek konieczny) Jeżeli punkt jest punktem przegięcia funkcji f to . Tw: (Warunek wystarczający) Jeżeli druga pochodna jest: albo
to punkt jest punktem przegięcia funkcji f. Twierdzenie to można sformułować krótko Jeżeli i zmienia znak przy przejściu przez punkt x0, to punkt jest punktem przegięcia funkcji f. TEMPO ZMIAN WARTOŚCI FUNKCJI
Jeśli dla każdego xÎ(a,b) 1. , to funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale (a,b), 2. , to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (a,b), 3. , to funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale (a,b), 4. , to funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale (a,b).
ASYMPTOTY UKOŚNE (POCHYŁE ) I POZIOME
Zakładamy, że funkcja f jest określona na przedziale (-¥, a).
Prostą o równaniu y=mx+k nazywamy asymptotą ukośną ( gdy m=0 asymptotą poziomą) lewostronną krzywej y=f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
Analogicznie określamy asymptotę ukośną (albo poziomą) prawostronną dla funkcji f określonej w przedziale (a,¥).
Jeżeli prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną krzywej y=f(x), to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną tej krzywej.
Tw. Prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej y=f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice
Zauważ, że jeżeli f jest różniczkowalna i ma asymptotę ukośną to z reguły H |
Menu
|