|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
18
obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych typu , . Tw: Reguła de L’Hospitala Jeżeli 1) funkcje f, g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S punktu x0, przy czym dla ;
2a) , albo
2b) ;
3) istnieje granica skończona albo niewłaściwa, to istnieje granica i zachodzi równość .
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz gdy .
Ekstrema lokalne funkcji Załóżmy, że punkt x0 jest punktem wewnętrznym dziedziny funkcji f. Def Jeżeli istnieje otoczenie punktu x0, w którym największą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x0.
Jeżeli istnieje otoczenie punktu x0, w którym najmniejszą wartością funkcji jest f(x0), to mówimy, że funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x0.
Powiedzenie, że funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie oznacza, że ma w tym punkcie maksimum lub minimum.
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne oraz dla każdego , to mówimy, że f ma w x0 maksimum globalne.
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne oraz dla każdego , to mówimy, że f ma w x0 minimum globalne.
Tw: Rolle’a Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętymi różniczkowalna na przedziale otwartym oraz , to istnieje taki punkt , że .
Tw: Lagrange’a Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym i różniczkowalna na przedziale otwartym, to istnieje taki punkt , że .
Wnioski Monotoniczność funkcji, a znak jej pochodnej
Niech funkcja f będzie różniczkowalna na przedziale . 1. Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest stała na przedziale .
2. Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest rosnąca na przedziale .
3. Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest malejąca na przedziale .
Przy wnioskowaniu w przeciwnym kierunku 1. Jeśli funkcja f jest stała na , to dla każdego . 2. Jeśli funkcja f jest rosnąca na , to dla każdego . 3. Jeśli funkcja f jest malejąca na , to dla każdego . Wnioski pozostają słuszne dla przedziałów nieskończonych. Warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej Tw: Fermata Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodną, to Warunek wystarczający ekstremum funkcji różniczkowalnej (zmiana znaku pochodnej)
Tw: Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x0 pochodną , która jest: to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Jeżeli zaś pochodna jest to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe. Warunek wykluczający ekstremum Jeżeli pochodna jest 2º stałego znaku w obustronnym sąsiedztwie punktu x0, to w punkcie x0 funkcja f nie ma ekstremum. Warunek wystarczający ekstremum z drugą pochodną
Tw: Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x0 drugą pochodną przy czym to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe, jeżeli , minimum właściwe, jeżeli .
Warunek wystarczający ekstremum funkcji
Tw: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz ma w pewnym sąsiedztwie punktu x0 pochodną , która jest: to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Jeżeli zaś pochodna jest to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe.
|
Menu
|