w4 pochodna, Finanse SGGW, Matematyka

13

Pochodna funkcji

Zakładamy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U punktu x0. Niech oznacza różny od zera przyrost zmiennej x taki, że punkt .

Wyrażenie

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu zmiennej x.

Def. Jeżeli istnieje skończona granica

to nazywamy ją pochodną funkcji f  w punkcie x0.

Pochodną funkcji f w punkcie x0 oznaczamy symbolem lub .

Definicję tę można zapisać równoważnie

1. O funkcji f mającej pochodną w punkcie x0 mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x0.

2. Obliczanie pochodnych nazywamy różniczkowaniem.

3. Jeżeli granica ilorazu różnicowego jest równa ∞ lub -∞,to mówimy, że funkcja ma w danym punkcie pochodną nieskończoną równą ∞ lub -∞..

Geometryczny sens pochodnej

Pochodna jest równa tangensowi kąta, jaki tworzy z osią Ox styczna poprowadzona do wykresu funkcji f w punkcie

Styczna ta ma równanie

Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie zbioru X, to na zbiorze X określona jest funkcja, którą nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy.

Pochodne Jednostronne

Granice jednostronne ilorazu różnicowego (o ile istnieją)

nazywamy odpowiednio lewostronną i prawostronną pochodną funkcji f w punkcie x0.

Używamy także oznaczeń ,

Wniosek

Pochodna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe.

Pochodna w przedziale

Jeśli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz istnieją , to mówimy, że istnieje na przedziale domkniętym .

TW: (istnienie pochodnej a ciągłość)

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Tw. odwrotne nie zachodzi. Funkcja ciągła w pewnym punkcie może nie mieć w tym punkcie pochodnej np. jest ciągła w punkcie x0=0, ale nie ma w tym punkcie pochodnej.

Obliczanie pochodnych

Tw:

Jeżeli funkcje f , g są różniczkowalne w punkcie x, to ich suma, różnica, iloczyn są różniczkowalne w punkcie x i zachodzą równości

ponadto

gdzie  c oznacza stałą.

Jeżeli założymy, że , to iloraz jest różniczkowalny w punkcie x i zachodzi równość

Tw. ( o pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli funkcja jest ściśle monotoniczna i ma pochodną na przedziale Y, to funkcja odwrotna ma na przedziale f(Y) pochodną daną wzorem

Tw. (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x oraz funkcja g ma pochodną w punkcie u gdzie , to funkcja złożona ma pochodną w punkcie x daną wzorem

.

Równość tę wygodnie zapisać

Pochodna logarytmiczna

Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego

Pochodne wyższych rzędów

Jeżeli funkcja ma pochodną w zbiorze X, to tę pochodną nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w zbiorze X i oznaczamy .

Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.

Pochodna rzędu n funkcji f jest to pochodna pochodnej rzędu n-1

.

Pochodną rzędu n zapisujemy również 

uwagi

0

funkcja stała