w3 granica funkcji , Finanse SGGW, Matematyka

11

GRANICA FUNKCJI

Załóżmy, że funkcja f  jest określona w pewnym sąsiedztwie S punktu c tzn. w zbiorze

, gdzie

Sąsiedztwo lewostronne i prawostronne punktu c, to odpowiednio przedziały

Definicja Heinego

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie c, jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach ( zbieżnego do c, ciąg wartości funkcji jest zbieżny do g.

Definicja Cauchy’ego

Tw. (rachunek granic skończonych)

Jeżeli i to

1.

2.

3. przy założeniu, że ,

Granice niewłaściwe:

Definicja Heinego

Funkcja f w punkcie c ma granicę niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach , zbieżnego do c, ciąg jest rozbieżny do.

Definicja Cauchy’ego

Napisz samodzielnie definicję .

Granice jednostronne:

Jeżeli w definicji granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji f w punkcie c zastąpimy sąsiedztwo S przez sąsiedztwo lewostronne albo prawostronne to otrzymamy określenie granicy jednostronnej (lewostronnej albo prawostronnej).

Napisz samodzielnie definicję np.: .

Tw:

Granice funkcji w nieskończoności

Niech funkcja f  będzie określona w przedziale , gdzie a oznacza liczbę rzeczywistą.

Podobnie określamy granice w dla funkcji określonej w przedziale .

Rachunek granic nieskończonych

Zobacz odpowiednie twierdzenia dla ciągów.

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Niech funkcja f  będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu tzn. w zbiorze

Definicja

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

Warunek równoważny:

gdzie

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada w punkcie x0 nieskończenie mały przyrost funkcji.

Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego , prawostronnie ciągła w punkcie a, lewostronnie ciągła w punkcie b.

Funkcje: wielomian, sinus, cosinus, wykładnicza są ciągłe w zbiorze R (w dziedzinie naturalnej).

Funkcja logarytmiczna jest ciągła w zbiorze liczb dodatnich.

Funkcja wymierna ( iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny naturalnej (poza zerami mianownika)

1.

Suma, różnica, iloczyn funkcji ciągłych w danym punkcie są funkcjami ciągłymi w tym punkcie.

Iloraz funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera w tym punkcie.

2.

(o ciągłości funkcji odwrotnej)

Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej (malejącej) na przedziale jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale .

3.

(o ciągłości funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja wewnętrzna h jest ciągła w punkcie x0 i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie u0=h(x0), to funkcja złożona jest ciągła w punkcie .

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

4. 

(o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej)

Jeżeli istnieje granica właściwa i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie , to .

Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla .

( o lokalnym zachowaniu znaku)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie oraz , to istnieje otoczenie U punktu , takie że dla każdego.

Funkcja ciągła w pewnym punkcie i różna od zera w tym punkcie zachowuje swój znak w pewnym otoczeniu tego punktu.

6. (Weierstrassa)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym , to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których funkcja przyjmuje wartość największą i najmniejszą.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym , to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty x1,  x2 takie, że

   .

7. (Darboux)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym , oraz liczba q jest zawarta między liczbami f(a) i f(b), to istnieje co najmniej jeden punkt , taki że .

Funkcja f ciągła w przedziale gdzie przyjmuje w przedziale każdą wartość pośrednią między i .

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym  oraz , to istnieje taki punkt , że .