w3, Ekonometria szeregów czasowych, Welfe, eszcz

Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.

Komputerowa analiza systemów pomiarowych

WYKŁAD III

Podstawowe modele przetwarzania statycznego i dynamicznego

· Klasy opisu modeli i zmiana postaci

· Standardowe modele statyki i dynamiki

· Propagacja sygnałów, błędów i zakłóceń

· Modele nieliniowe

· Modele dyskretne a modele ciągłe

liniowe modele statyczne i dynamiczne

Definicja Liniowy model dynamiczny, dla którego zależność wyjścia od wejścia opisuje funkcjonał F, spełnia zasadę superpozycji (odpowiedź na ważoną sumę wejść jest ważoną sumą odpowiedzi):

Przykład: liniowy dynamiczny model operacji uśredniania za czas T (funkcjonał całkowy)

Liniowy model statyczny opisany funkcją f wyjścia od bieżącej wartości wejścia spełnia zasadę superpozycji w wersji bez zależności czasowej (brak wpływu historii wejść)

Przykład: statyczny liniowy model mostka tensometrycznego z jednym tensometrem czynnym i napięciem niezrównoważenia (U0 nie jest reakcją na wielkość wejściową, ściśle mówiąc jest to model przyrostowo liniowy)

Przykład: Zasada superpozycji dla liniowego dynamicznego modelu w postaci równania różniczkowego

nie widać spełnienia zasady superpozycji, ale w równoważnej postaci splotowej:

Postacie liniowych modeli systemów dynamicznych

Równanie różniczkowe

Ta postać w naturalny sposób wynika z różniczkowych praw fizyki, ogólnie z równania Lagrange’a

, gdzie

F – siła uogólniona, P – moc tracona, v – prędkość uogólniona, Ek – energia kinetyczna, Ep – energia potencjalna.

Systemy fizyczne spełniają warunek realizowalności: m £ n (dlaczego?).

Pojedyncze równanie opisuje układ SISO (jedno wejście, jedno wyjście) z określonymi warunkami początkowymi.

Przykłady:

Filtr górnoprzepustowy CR

Przetwornik z masą sejsmiczną

- siła wymuszająca

- siła bezwładności masy

- siła reakcji sprężyny

- siła tłumiąca

Modele uogólnione

Stosowanie różnych zasad fizyki prowadzi do równań różniczkowych o tej samej strukturze (kolejne pochodne wejścia i wyjścia po czasie) ale o innej parametryzacji zależnej od stosowanych zasad i parametrów fizycznych. Oczywiście musi zachodzić zgodność wymiarów składowych równania. Wynika stąd możliwość ujednolicenia analizy przez wprowadzenie modeli uniwersalnych z jednolitą parametryzacją.

Dynamika czujnika temperatury:

Założenia: brak wpływu czujnika na ośrodek, pomijalne oddziaływanie prądu

[K] - temperatura otoczenia

[K] - temperatura czujnika

[W/m2 K] - współczynnik przejmowania ciepła z otoczenia

A [m2] - powierzchnia wymiany ciepła

c [J/kg K] – ciepło właściwe

Bilans ciepła:

Przykład: Odmienne zjawiska (postacie przetwarzanej energii) opisane takim samym modelem

Dynamika filtra RC:

Założenia: brak wzajemnego obciążenia nast./poprz. elementu

Równania stanu

A – macierz kwadratowa n´n, B – macierz n´m, C – macierz p´n, D – macierz p´m,

n – ilość stanów, m – ilość wejść, p – ilość wyjść.

Macierzowe równanie stanu opisuje układ MIMO (wiele wejść, wiele wyjść).

Rodem z automatyki, zrobiły dużą karierę w symulacji systemów dynamicznych (podstawa działania np. Simulinka).

Najistotniejszą cechą równań stanu jest opis równaniami pierwszego stopnia i niezależność opisu wyjść od historii wejść (w przeciwieństwie do modelu splotowego z odpowiedzią impulsową).

Ogólne rozwiązanie równań stanu ma postać splotową , jednak w praktyce obliczeniowej wykorzystuje się do wyznaczania trajektorii stanu efektywniejsze czasowo algorytmy numerycznego całkowania równań stanu (zob. następny wykład).

Przetwornik z masą sejsmiczną:

Filtr CR:

Przykłady:

Transmitancja operatorowa i widmowa

Jedna transmitancja opisuje układ SISO przy zerowych warunkach początkowych.

Podstawiając (zastąpienie ogólnej transformaty Laplace’a szczególnym przypadkiem transformaty Fouriera) otrzymujemy transmitancję widmową o wartościach zespolonych w funkcji pulsacji w.

Moduł transmitancji widmowej:

Argument (faza) transmitancji:

Rekonstrukcja czasowej postaci odpowiedzi y(t) na sygnał u(t) w ogólnym przypadku ma postać:

z relacjami: , przy y(t)=0 dla t<0

Przetwornik z masą sejsmiczną:

Filtr CR:

Przykłady:

Bieguny i zera

Wgląd na zachowanie modelu i możliwość łatwego kształtowania jego własności częstotliwościowych daje model zer i biegunów, czyli pierwiastków odpowiednio licznika i mianownika. Jest to przetworzona postać transmitancji.

Przykład: mostkowy przesuwnik fazowy

Odpowiedź impulsowa i skokowa

Impuls Diraca tylko dla t=0 oraz . Przykłady odpowiedzi na impuls i skok będą dalej.

Ogólne wyrażenie opisujące odpowiedź na wejście u(t) ma postać splotową:

co jest mało praktyczne dla nieskończonych odpowiedzi impulsowych i dla obliczeń w wielu punktach.

Związki między poszczególnymi postaciami modeli.

Równanie różniczkowe

Równania stanu

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

Równanie różniczkowe

Odwrotna transformata Laplace’a