w2z 2004, Budownictwo-studia, Matematyka

Wykład 2.                                                                      6 X 2004

PRZYSPIESZENIE I JEGO  SKŁADOWE W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM

Wektor przyspieszenia w układzie kartezjańskim - zapis w formalizmie wersorowym.

Przyspieszenie można przedstawić w układzie kartezjańskim jako wektor o trzech współrzędnych:

a = ax i + ay j + az k

Składowe: axi, ayj, azk są wektorami powstałymi przez prostokątne rzutowanie wektora a na osie OX, OY oraz OZ.

Zachodzą związki:

ax = ,       ay = ,    az = , które wynikają z definicji wektora przyspieszenia jako pochodnej wektora prędkości oraz przedstawienia wektora prędkości w formie zapisu z użyciem wersorów:       v = vx i + vy j + vz k

PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE.

Układ współrzędnych naturalny - definicja.

Załóżmy, że cząstka porusza się po torze krzywoliniowym. W chwili t znajduje się ona w punkcie toru P1 a w chwili (t +Dt) w punkcie P2.

Definiujemy w punkcie toru P1 wersor styczny do toru es oraz w kierunku prostopadłym do toru wersor normalny en. Wersory te przemieszczają się wraz z cząstką wzdłuż toru ruchu i w przypadku toru krzywoliniowego będą zmieniały swój kierunek.

Porównaj kierunki wersorów na rysunku w chwili t w punkcie P1 i w chwili (t +Dt) w punkcie P2.

Prędkość w układzie naturalnym.

Prędkość w układzie naturalnym można zapisać bardzo prosto: v = v(t) es. Wyrażony jest w ten sposób fakt, że wektor prędkości jest styczny do toru.

Przyspieszenie w układzie naturalnym. Pokazanie, że:  a= es + en

Zgodnie z definicją przyspieszenia: a== = es + v. Przy wersorze stycznym mamy wielkość , która informuje jak zmienia się wartość wektora prędkości. Dla uzyskania pełnej zależności dla przyspieszenia należy przeanalizować pochodną czasową wersora stycznego.

Obliczenie pochodnej wersora stycznego po czasie: = en

Na rysunku obok pokazane są sprowadzone do wspólnego punktu wersory styczne do toru w chwili t (w punkcie toru P1) oraz t+dt . Kąt jaki one tworzą wynosi dj, można więc znaleźć długość przyrostu wersora stycznego:

= dj= dj, bo długość wersora wynosi jeden. Pozostaje jeszcze znaleźć kierunek przyrostu wersora des.

Dowód, że jest prostopadłe do es.

Biorąc iloczyn skalarny wersorów =1. Obliczając pochodną po czasie obu stron otrzymamy dla strony lewej:

oraz dla prawej:

. Czyli łącząc te związki mamy: . Ponieważ ani długość wersora ani jego pochodna nie są równe zeru, to musi zachodzić sytuacja, że wersor styczny jest prostopadły do swojej pochodej czasowej.

Mamy więc znaleziony kierunek przyrostu wersora stycznego. Jest on zgodny z kierunkiem wersora normalnego, czyli:

des=dj en. Stąd mamy związek dla pochodnej wersora stycznego: = en.

Obliczenie as i an oraz ich interpretacja fizyczna.

Wracając do wzoru opisującego przyspieszenie w układzie naturalnym i wstawiając otrzymany wynik dla pochodnej wersora stycznego otrzymamy:

a== es + v en.

Kąt dj jest również kątem jaki tworzą dwie proste prostopadłe do toru w kolejnych punktach toru (P1 i P2) odpowiadających położeniu cząstki w czasie t i czasie t+dt. Proste te przecinając się tworzą odcinki o długościach równych promieniowi  krzywizny oznaczanemu przezr. Ponieważ łuk P1P2 ma długość ds, to można zapisać związek ds = r dj, czyli.

Ponieważ wartość prędkości v = , to. Otrzymujemy więc wynik:

a== es +en.

UWAGA - Wnioski końcowe. To jest najważniejsze !!

Wartość przyspieszenia stycznego określa nam jak zmienia się wartość prędkości w ruchu, natomiast wartość przyspieszenia normalnego określa jaka jest krzywizna toru czyli zawiera informację o zmianie kierunku wektora prędkości.

·      Problem: Kiedy v=const, a przyspieszenie całkowite a 0? [odpowiedź na końcu tekstu]

Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie.

Przyspieszenie: a== es + en = a s es +a n en

·      kierunek prędkości stały, wartość stała - ruch prostoliniowy jednostajny.

a s= 0, a n=0, r

·      kierunek prędkości stały, wartość zmienna - ruch prostoliniowy zmienny

a s niezerowe, a n= 0, r

·      kierunek prędkości zmienny, wartość stała - ruch krzywoliniowy po okręgu

a s = 0, a n stałe i różne od zera, r=R i stałe równe promieniowi okręgu.

·         kierunek prędkości zmienny, wartość zmienna - ruch krzywoliniowy zmienny

a s zmienne, a n zmienne, r zmienne.

Sprawdź czy to rozumiesz. Sam(a) spróbuj opisać w ten sposób różne znane Ci z życia codziennego lub z kursu fizyki szkolnej przykłady ruchów.  

ŚREDNIA PRĘDKOŚĆ I ŚREDNIE RZYSPIESZENIE.

Definicja prędkości średniej i przyspieszenia średniego.

Prędkość średnia określona jest jako iloraz wektora przemieszczenia, które nastąpiło w skończonym czasie Dt do wartości tego przedziału czasu Dt:

.

Podobnie przyspieszenie średnie jest ilorazem zmiany wektora prędkości Dv, która nastąpiła w skończonym czasie Dt do wartości tego przedziału czasu Dt:

. Są to wielkości wektorowe.

TRANSFORMACJA GALILEUSZA.

Opis ruchu punktu P (DOWOLNY RUCH OBIEKTU - NA PRZYKŁAD MUCHY) w układach inercjalnych U oraz U' – transformacja Galileusza.

Jeśli układ U' zwany dalej primowanym porusza się ze stałą prędkością vu tak, że osie OX oraz OX' są równoległe oraz w chwili t=0 punkty O i O’ pokrywały się, wtedy:

OO' = vu t

Oraz współrzędna muchy P:

x(t) = x'(t) + vu t

Stąd składowe prędkości muchy na osie ox oraz ox' spełniają relację:

vx (t)= vx' (t) + vu

oraz podobnie:

ax (t) = ax' (t)

(pomyśl co stało się z pochodną po czasie vu ?)

Mnożąc obie strony przez masę cząstki otrzymamy wniosek, że także siły działające na obiekt (muchę) są równe w obu układach odniesienia:

Fx(t) = Fx' (t)

UWAGA:

Zauważ, że nie ma tu nigdzie mowy o siłach działających na układ xOy czy x'O'y'. Pomyśl dlaczego tak jest. Pomocne będzie pytanie: "Jaką masę ma układ U oraz U'?"

UKŁADY INERCJALNE.

Analizując ruch cząstki w układzie poruszającym się ruchem jednostajnym i prostoliniowym względem obserwatora nieruchomego otrzymamy równanie opisujące siłę na nią działającą identyczne jak dla układu nieruchomego. Prawa dynamiki Newtona opisują więc poprawnie ruch w każdym układzie inercjalnym.

Można sformułować zasadę względności Galileusza.

Wszystkie prawa mechaniki wyglądają identycznie we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Fizycy mówią: Prawa mechaniki są niezmiennicze ze względu na wybór inercjalnego układu odniesienia.

Uwaga na marginesie:

Okaże się, że transformacja Galileusza jest jednak tylko przybliżeniem. Dla dużych prędkości układu inercjalnego zaczynają się kłopoty podczas używania przepisu na dodawanie prędkości takiego jak powyżej używany i musimy go zmodyfikować. O tym jak to zrobić dowiecie się jeszcze w tym semestrze.

Pojęcie układu inercjalnego. Sens tego sformułowania. (patrz wykład)

Zasada bezwładności - pierwsza zasada dynamiki

Poniżej podane jest sformułowanie pierwszej zasady dynamiki często spotykane w podręcznikach do Fizyki do szkół średnich:

Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się to pozostaje ono w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Nie jest ona błędna, ale nie wynika z niej jasno, co konkretnie dzieje się na przykład z obiektem, na który działają siły równoważące się. Według powyższego sformułowania  jest nieruchomy albo porusza się ruchem jednostajnym, a to nie jest rzecz do wyboru.

Sformułowanie Newtona jest następujące:

Każde ciało pozostaje w spoczynku albo w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego, dopóki oddziaływanie ze strony innych ciał nie zmieni tego stanu.  

Widać, że obiekt robi dalej to co robił dopóki nie będzie czegoś (oddziaływania ze strony innych ciał) co ten stan zmieni. Czyli jeśli pozostawał w spoczynku to nadal tak będzie, a gdy poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym to nadal tak będzie robił aż do czasu gdy pojawi się...