w10 macierze, Finanse SGGW, Matematyka

Niech ustalone będą dwie liczby naturalne m, n.

tzn. przyporządkowanie każdej parze (i,j) liczb naturalnych i=1,2,...,m,  j=1,2,...,n  dokładnie jednej liczby rzeczywistej aij.

Macierz taką zapisujemy w tablicy o m wierszach i o n kolumnach

                                    lub krótko     .

Liczby aij nazywamy wyrazami macierzy.

Wyrazy tworzą i-ty wiersz macierzy A.

Wyrazy tworzą j-tą kolumnę macierzy A.

Macierz, której wszystkie elementy są równe zero nazywamy zerową i oznaczamy 0.

Zbiór wszystkich macierzy o wyrazach rzeczywistych i wymiarach m na n oznaczmy przez .

Jeśli m=n, to macierz nazywamy kwadratową.

macierze kwadratowe

Jeśli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn i wynosi n, to macierz nazywamy macierzą kwadratową stopnia n.

Wyrazy a11, a22, a33,...,ann  tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej stopnia n.

Macierz kwadratową, w której wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe zero nazywamy macierzą diagonalną.

Macierz diagonalną, której wyrazy na głównej przekątnej są równe jedności nazywamy macierzą jednostkową.

Macierz kwadratową, której wszystkie wyrazy stojące pod (nad) główną przekątną są równe zero nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną).

macierz trójkątna górna

Działania na macierzach

Macierze i o jednakowych wymiarach są równe, piszemy , jeżeli dla , .

Sumą macierzy i o jednakowych wymiarach nazywamy macierz , którą otrzymujemy dodając do każdego wyrazu macierzy A odpowiedni wyraz macierzy B.

Analogicznie określamy różnicę dwóch macierzy .

Iloczynem macierzy przez liczbę s nazywamy macierz, którą otrzymujemy, mnożąc każdy wyraz macierzy A przez liczbę s.

Iloczynem macierzy przez macierz nazywamy macierz , której każdy wyraz jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A przez j-tą kolumnę macierzy B.

     , .

Własności działań na macierzach

Zakładamy, że macierze A, B, C mają takie wymiary, aby działania były wykonalne,

s,t oznaczają liczby rzeczywiste.

1. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.

,                   

2. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne i rozdzielne względem dodawania liczb i dodawania macierzy tzn.

,        ,   

3. Mnożenie macierzy przez macierz nie jest przemienne .

4. Mnożenie macierzy przez macierz jest łączne i rozdzielne względem dodawania.

,            ,          

5. ,