w 15 całki podwójne, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKI P ODWOJN E
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgledem osi 0 x, t o
z b i´o r
D
x
= {( x, y) : a ≤ x ≤ b, g( x) ≤ y ≤ h( x) },
g d z ie a < b o r a z
fu n kc je g( x) i h( x) s ¸
c i¸a g le
w p r z e d z ia le
[a, b] i s p e ln ia j¸
w n im
wa r u n e k g( x) ≤ h( x) .
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgledem osi 0 y, t o
z b i´o r
D
y
= {( x, y) : c ≤ x ≤ d, p( y) ≤ x ≤ q( y) },
g d z ie c < d o r a z
fu n kc je p( y) i q( y) s ¸
c i¸a g le
w p r z e d z ia le
[c,d] i s p e ln ia j¸
w n im
wa r u n e k p( y) ≤ q( y) .
D E FIN ICJA . Obszarem regularnym n a z ywa m y s u m
s ko ´n c z o n e j lic z b y o b s z a r ´o w
n o r m a ln yc h .
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e
fu n kc ja f( x, y)
je s t
o g r a n ic z o n a
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym
D. D z ie lim y z b i´o r D n a n d o wo ln yc h
o b s z a r ´o w r e g u la r n yc h
D
1
,. . . ,D
n
o
p a r a m i
r o z l¸a c z n yc h
wn ¸e t r z a c h .
N ie c h
i
, d la
i = 1 , 2 , .. . n, o z n a c z a
p o le
o b s z a r u D
i
.
N a jwi¸e ks z ¸
z e ´s r e d n ic
z b io r ´o w D
1
, .. . ,D
n
o z n a c z a m y p r z e z δ
n
i n a z ywa m y norma
podzialu. W
ka z d ym
z b io r z e D
i
wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( x
i
, y
i
) . Two r z ym y sume
calkowa
σ
n
= f( x
1
, y
1
) ∆
1
+ f( x
2
, y
2
) ∆
2
+ + f( x
n
, y
n
) ∆
n
.
Ta k p o s t ¸e p u je m y d la n = 2 , 3 ,. . . o t r z ym u j¸a c p e wie n c i¸a g p o d z ia l´o w z b io r u D.
Ci¸a g t e n n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialow, je z e li lim
n→∞
δ
n
= 0 .
Je z e li d la ka z d e g o c i¸a g u
n o r m a ln e g o p o d z ia l´o w z b io r u D is t n ie je s ko ´n c z o n a g r a n ic a
lim
n→∞
σ
n
( t a ka
s a m
b e z
wz g l¸e d u
n a
wyb ´o r
z b io r ´o w D
i
o r a z
p u n kt ´o w ( x
i
, y
i
) ) ,
t o
g r a n ic ¸e
t ¸e
n a z ywa m y calka podwojna funkcji f( x, y) w zbiorze D i o z n a c z a m y
RR
D
f( x, y) dxdy.
IN TE R P R
E TA CJA
GE OME TR Y CZN A . Je z e li fu n kc ja f je s t
c a lko wa ln a
i n ie
u je m n a
w D, t o
o b j¸e t o ´s ´c
b r yly B = {( x, y, z)
:
0 ≤ z ≤ f( x,y) , ( x, y) ∈ D}
RR
je s t r ´o wn a
D
f( x, y) dxdy.
TW
IE R
D ZE N IE .
Fu n kc ja
c i¸a g la
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym
je s t w n im
c a lko wa ln a .
L A S N O
´
S CI. Za kla d a m y, z e
fu n kc je f( x,y) o r a z g( x, y) s ¸
c a lko wa ln e
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym D.
RR
RR
RR
1 .
f( x, y) ± g( x, y)
dxdy =
D
f( x, y) dxdy ±
D
g( x, y) dxdy
D
RR
RR
2 .
D
λf( x, y) dxdy = λ
D
f( x, y) dxdy
3 . Gd y D je s t s u m
o b s z a r ´o w r e g u la r n yc h D
1
i D
2
o
r o z l¸a c z n yc h
wn ¸e t r z a c h , t o
Z Z
Z Z
Z Z
f( x,y) dxdy =
f( x, y) dxdy +
f( x, y) dxdy
D
D
1
D
2
TW
IE R D ZE N IE . Gd y f je s t c i¸a g la
w o b s z a r z e
n o r m a ln ym D
x
, t o
Z Z
Z
Z
b
h(x)
f( x, y) dxdy =
f( x,y) dy
dx.
D
x
a
g(x)
TW
IE R
D ZE N IE . Gd y f je s t c i¸a g la
w o b s z a r z e
n o r m a ln ym D
y
, t o
Z Z
Z
Z
d
q(y)
f( x, y) dxdy =
f( x, y) dx
dy.
D
y
c
p(y)
P R
ZY P OMN IE N IE . Zwi¸a z e k m i¸e d z y ws p ´o lr z ¸e d n ym i ka r t e z ja ´n s kim i ( x, y)
p u n kt u ,
je g o
ws p ´o lr z ¸e d n ym i b ie g u n o wym i je s t
n a s t ¸e p u j¸a c y: x = r c o s ϕ, y = r s in ϕ.
P r z yjm u je m y t u : r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π.
TW
IE R D ZE N IE . Gd y fu n kc ja f je s t
c i¸a g la
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym
D i g d y
= {( r, ϕ) : ( r c o s ϕ, r s in ϕ) ∈ D}, t o
Z Z
Z Z
f( x, y) dxdy =
f( r c o s ϕ, r s in ϕ) rdrdϕ.
D
Cz yn n ik r wys t ¸e p u j¸a c y p o d
c a lk¸
t o jakobian.
Og ´o ln ie jakobian o d wz o r o wa n ia
x
′
u
x
′
v
x = x( u,v) , y = y( u, v)
t o
n a s t ¸e p u j¸a c y wyz n a c z n ik J =
, z a t e m
ja ko b ia n
y
′
u
y
′
v
” p r z e j´s c ia ”
z e
ws p ´o lr z ¸e d n yc h
ka r t e z ja ´n s kic h
d o
b ie g u n o wyc h
wyn o s i
x
′
r
x
′
ϕ
cos ϕ −r sin ϕ
= rc o s
2
ϕ + rs in
2
ϕ = r.
J =
=
y
r
y
′
ϕ
sin ϕ r cos ϕ
P R
ZY K
L A D .
b r yly o g r a n ic z o n e j p o wie r z c h n ia m i z = 0 , z = 1 − x
2
− y
2
.
Ob lic z y´c
o b j¸e t o ´s ´c
Zg o d n ie
in t e r p r e t a c j¸
g e o m e t r yc z n ¸
c a lki p o d w´o jn e j,
Z Z
( 1 − x
2
− y
2
) dxdy,
V =
D
g d z ie D = {( x, y) : x
2
+y
2
≤ 1 }. P o d s t a wia m y ws p ´o lr z ¸e d n e b ie g u n o we ; o d p o wie d n i
o b s z a r
= {( r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π}. Za t e m
Z Z
Z
Z
1
2π
1 − ( r c o s ϕ)
2
− ( r s in ϕ)
2
( r − r
3
) dϕ
V =
rdrdϕ =
dr
0
0
Z
Z
h
( r − r
3
) ϕ
i
h
i
1
1
2
r
2
−
1
−
1
2π
0
dr =
1
0
= 2 π(
( r − r
3
) 2 πdr = 2 π
4
r
4
=
) =
2
π.
0
0
IE R D ZE N IE . Je z e li fu n kc je f, f
x
, f
y
s ¸
TW
c i¸a g le
w o b s z a r z e
r e g u la r n ym D, t o
p o le
p o wie r z c h n i S = {( x,y,z) : z = f( x, y) , ( x, y) ∈ D} wyn o s i
Z Z
q
1 + ( f
x
)
2
+ ( f
y
)
2
dxdy.
D

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl