w 07 całka nieoznaczona, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

CALKA N I E OZN ACZON A
D E FIN ICJA .
N ie c h f b ¸e d z ie fu n kc j¸a o kr e ´s lo n ¸a w p e wn ym p r z e d z ia le I. Calka nieoznaczona
fu n kc ji f n a z ywa m y ka z d ¸a fu n kc j¸e F r ´o z n ic z ko wa ln ¸a w I i s p e ln ia j¸a c ¸a d la ka z d e g o
x ∈ I wa r u n e k F
′
( x) = f( x) .
P is z e m y: F( x) =
R
f( x) dx. M´o wim y, z e f je s t c a lko wa ln a w I.
U W A GA
1 . Gd y F( x) je s t c a lk¸a fu n kc ji f( x) , t o
F( x) + C t e ˙z je s t c a lk¸a t e j
fu n kc ji.
W yjasnienie: [F( x) + C]
′
= F
′
( x) + C
′
= F
′
( x) + 0 = F
′
( x) = f( x) .
U W A GA 2 . D wie c a lki F
1
( x) i F
2
( x)
t e j s a m e j fu n kc ji f( x) r ´o z n i¸a s i¸e w c a lym
p r z e d z ia le I o p e wn ¸a s t a l¸a .
W yjasnienie: F
1
( x) = f( x) o r a z F
2
( x) = f( x) , wi¸e c [F
1
( x) − F
2
( x) ]
′
= 0 ; z
wn io s ku 3 p o t wie r d z e n iu L a g r a n g e ’a wie m y, z e je d yn ie p o c h o d n a fu n kc ji s t a le j
je s t s t a le r ´o wn a z e r o , c z yli is t n ie je t a ka s t a la C, z e F
1
( x) − F
2
( x) = C.
N IOS E K . Zn a j¸a c je d n ¸a c a lk¸e F fu n kc ji f o t r z ym a m y ws z ys t kie p o z o s t a le :
Z
f( x) dx = F( x) + C.
TW
IE R D ZE N IE . K a z d a fu n kc ja c i¸a g la je s t c a lko wa ln a .
P OD S TA W
OW
ZOR Y ( c z ¸e ´s ´c p ie r ws z a ) .
Ca lko wa n ie
o d n o s i s i¸e
d o
t yc h
p r z e d z ia l´o w, w kt ´o r yc h
fu n kc je p o d c a lko we s ¸
o kr e ´s lo n e .
Z
x
a
dx =
a + 1
x
a+1
+ C d la a = −1
( 1 )
Z
x
dx = ln
|x| + C
( 2 )
Z
e
x
dx = e
x
+ C
( 3 )
Z
a
x
ln a
+ C
a
x
dx =
( 4 )
Z
s in xdx = − c o s x + C
( 5 )
Z
c o s xdx = s in x + C
( 6 )
Z
1
c o s
2
x
dx = t g x + C
( 7 )
Z
2
x
dx = −c t g x + C
( 8 )
s in
Z
1
1 + x
2
dx = a r c t g x + C = −a r c c t g x + K
( 9 )
Z
√
1
− x
2
dx = a r c s in x + C = − a r c c o s x + K
( 1 0 )
L A S N O
´
S CI.
Z
Z
Z
[f( x) ± g( x) ]dx =
f( x) dx ±
g( x) dx
Z
Z
λf( x) dx = λ
f( x) dx
Z
f
′
( x) dx = f( x) + C
Z
′
= f( x)
f( x) dx
´
S CI:
CA L K OW A N IE
P R ZE Z CZE¸
Z
Z
u( x) v
′
( x) dx = u( x) v( x) −
u
′
( x) v( x) dx
Za kla d a m y t u , z e fu n kc je u( x)
i v( x)
m a j¸a c i¸a g le p o c h o d n e .
W yprowadzenie wzoru:
( uv)
′
= u
′
v + uv
′
Z
Z
( uv)
′
dx =
( u
′
v + uv
′
) dx
Z
Z
u
′
vdx +
uv
′
dx
uv =
Z
Z
uv
′
dx = uv −
u
′
vdx
P R ZY K L A D
Z
Z
u=x v
′
=e
x
u
′
=1 v=e
x
xe
x
dx =
= xe
x
−
e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C
CA L K OW A N IE
P R ZE Z P OD S TA W
IE N IE :
Z
Z
f[φ( t) ]φ
′
( t) dt, g d z ie x = φ( t)
f( x) dx =
φ
′
o r a z z e
Za kla d a m y t u , z e fu n kc ja
φ : ( α, β)
→ ( a,b)
m a c i¸a g l¸a p o c h o d n ¸
fu n kc ja f : ( a, b) → R je s t c i¸a g la .
W yprowadzenie wzoru: N ie c h
R
f( x) dx ( o z n a c z a t o , z e F
′
( x) = f( x) ) .
Fu n kc ja z lo z o n a F[φ( t) ] m a p o c h o d n ¸a ( wz g l¸e d e m t)
F( x) =
′
= F
′
[φ( t) ]φ
′
( t) = f[φ( t) ]φ
′
( t) .
F[φ( t) ]
Za t e m ,
Z
Z
f[φ( t) ]φ
′
( t) dt = F[φ( t) ] = F( x) =
f( x) dx.
P R ZY K L A D .
Z
Z
Z
x=3t
dx=3dt
c o s
3
xdx =
=
( c o s
3 t) 3 dt = 3
c o s tdt = 3 s in t+C = 3 s in
3
x+C
3
x=t
1
3
dx=dt dx=3dt
x=3t
dx=3dt
Zwykle z a m ia s t
p is z e m y
.
P R ZY K L A D .
Z
Z
5
x+7=t
1
5
dx=dt dx=5dt
s in
5
x+7
dx =
=
( s in t) 5 dt = −5 c o s t+C = −5 c o s
5
x+7
+C
P OD S TA W
OW
ZOR Y ( c z ¸e ´s ´c d r u g a ) .
Ca lko wa n ie
o d n o s i s i¸e
d o
t yc h
p r z e d z ia l´o w, w kt ´o r yc h
fu n kc je
p o d c a lko we s ¸
o kr e ´s lo n e .
Z
g
′
( x)
g( x)
dx = ln
|g( x) | + C
( 1 1 )
Z
ln xdx = x ln x − x + C
( 1 2 )
Z
t g xdx = − ln
| c o s x| + C
( 1 3 )
Z
c t g xdx = ln
| s in x| + C
( 1 4 )
Z
√
a r c s in xdx = x a r c s in x +
− x
2
+ C
( 1 5 )
Z
a r c t g xdx = xa r c t g x −
1
2
ln ( 1 + x
2
) + C
( 1 6 )
Z
dx
√
p
q − x
2
= a r c s in
q
+ C
( 1 7 )
Z
p
dx
p
q + x
2
= ln
|x +
q + x
2
| + C
( 1 8 )
Z
p
p
q − x
2
dx =
1
q − x
2
+
1
√
2
x
2
q a r c s in
q
+ C
( 1 9 )
Z
p
p
p
q + x
2
dx =
1
q + x
2
+
1
2
x
2
q ln
|x +
q + x
2
| + C
( 2 0 )
ZOR Y R E K U R E N CY JN E :
R
R
R
dx
n
xdx, K
n
=
c o s
n
xdx p o t r a fi m y o b lic z y´c d la
Ca lki I
n
=
(1+x
2
)
n
, J
n
=
s in
n = 1
o r a z d la n = 0 . D la n ≥ 2
s t o s u je m y wz o r y:
1
2 n − 2
( 1 + x
2
)
n−1
+
2 n − 3
x
I
n
=
2 n − 2
I
n−1
J
n
= −
1
n
c o s x s in
n−1
x +
n
−
1
J
n−2
n
K
n
=
1
n
s in x c o s
n−1
x +
n
−
1
K
n−2
n

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl