w 04 badanie przebiegu zmienności funkcji, Studia, Budownictwo UTP, Matematyka

B ADAN I E P RZE B I E GU ZM I E N N OSCI FUN KCJI
yko n u je m y wykr e s fu n kc ji wyz n a c z a j¸a c wc z e ´s n ie j:
1 . d z ie d z in ¸e fu n kc ji;
2 . g r a n ic e n a ko ´n c a c h p r z e d z ia l´o w o kr e ´s lo n o ´s c i i z n a jd u j¸a c a s ym p t o t y;
3 . p o c h o d n ¸a f
′
( x) i je j z n a ki ( u s t a la j¸a c e ks t r e m a i p r z e d z ia ly m o n o t o n ic z n o ´s c i) ;
4 . p o c h o d n ¸a f
′′
( x) i je j z n a ki ( u s t a la j¸a c p u n kt y p r z e g i¸e c ia i p r z e d z ia ly wyp u klo ´s c i
i wkl¸e s lo ´s c i) .
D E FIN ICJA . Asymptota pionowa wykr e s u fu n kc ji y = f( x) t o p r o s t a x = x
0
, je z e li
lim
x→x
0
f( x) = ∞
( a lb o
−∞)
lu b lim
x→x
0
f( x) = ∞
( a lb o
−∞) .
P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y p io n o we wykr e s u fu n kc ji f( x) = ln ( 1
− x
3
) .
− x
3
) = −∞, wi¸e c is t n ie je
D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t p r z e d z ia l ( −∞, 1 ) ; lim
x→1
−
ln ( 1
a s ym p t o t a p io n o wa ( le wo s t r o n n a ) o r ´o wn a n iu
x = 1 .
D E FIN ICJA . Je z e li is t n ie j¸a lic z b y m o r a z n t a kie , z e lim
x→∞
[f( x) − ( mx + n) ] = 0 ,
t o p r o s t ¸a y = mx + n n a z ywa m y asymptota ukosna prawa wykr e s u fu n kc ji.
D E FIN ICJA . Je z e li is t n ie j¸a lic z b y m o r a z n t a kie , z e lim
x→−∞
[f( x) −( mx+n) ] = 0 ,
t o p r o s t ¸a y = mx + n n a z ywa m y asymptota ukosna lewa wykr e s u fu n kc ji.
U W A GA . Je z e li m = 0 , t o a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a n a z ywa m y p o z io m ¸a .
TW IE R D ZE N IE . Je z e li is t n ie j¸a s ko ´n c z o n e g r a n ic e lim
x→∞
f(x)
x
( o z n a c z ym y j¸a p r z e z
m) o r a z lim
x→∞
[f( x) − mx] ( o z n a c z ym y j¸a p r z e z n) t o wykr e s fu n kc ji y = f( x)
m a a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a p r a w¸a o r ´o wn a n iu y = mx + n. P o d o b n ie is t n ie je a s ym p t o t a
u ko ´s n a le wa y = mx + n, g d y lim
x→−∞
f(x)
= m o r a z
lim
x→−∞
[f( x) − mx] = n.
x
√
P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y wykr e s u fu n kc ji f( x) =
x + x.
D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t D = [0 , ∞) , fu n kc ja je s t c i¸a g la , wi¸e c n ie m a a s ym p t o t p io
n o wyc h i n ie m a a s ym p t o t y u ko ´s n e j le we j. S p r a wd z a m y is t n ie n ie a s ym p t o t y p r a we j.
√
f( x)
x
x + x
x
1
√
lim
x→∞
= lim
x→∞
= lim
x→∞
x
+ 1
= 1 ,
z a t e m
m = 1 .
√
√
lim
x→∞
[f( x) − mx] = lim
x→∞
x + x − 1
x
= lim
x→∞
x = ∞,
a wi¸e c n ie m a t a kz e a s ym p t o t y p r a we j.
P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y wykr e s u fu n kc ji f( x) = x a r c t g x.
D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t R, fu n kc ja je s t c i¸a g la , wi¸e c n ie m a a s ym p t o t p io n o wyc h .
S p r a wd z a m y is t n ie n ie a s ym p t o t y u ko ´s n e j p r a we j.
f( x)
x
x a r c t g x
x
a r c t g x =
π
2
lim
x→∞
= lim
x→∞
= lim
x→∞
= m,
1
1+x
2
−
x
2
a r c t g x
−
2
1
x
x a r c t g x −
π
2
(H)
= lim
x→∞
lim
x→∞
[f( x) − mx] = lim
x→∞
x
= lim
x→∞
= −1 = n,
y =
2
x − 1 . Fu n kc ja f je s t
wi¸e c wykr e s fu n kc ji m a a s ym p t o t ¸e p r a w¸a o r ´o wn a n iu
je j wykr e s m a t e ˙z a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a le w¸a o r ´o wn a n iu y = −
2
x − 1 .
1
p a r z ys t a , z a t e m
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t r ´o z n ic z ko wa ln a w p r z e d z ia le ( a,b) . M´o wim y,
z e wykr e s fu n kc ji y = f( x)
a
d o wykr e s u p o p r o wa d z o n ¸a w d o wo ln ym p u n kc ie ( c, f( c) ) , c ∈ ( a, b) . M´o wim y, z e
wykr e s fu n kc ji y = f( x) je s t wklesly w ( a,b) , g d y je s t p o lo z o n y p o d s t yc z n ¸a d o
wykr e s u p o p r o wa d z o n ¸a w d o wo ln ym
je s t wypukly w ( a,b) , g d y je s t p o lo z o n y n a d s t yc z n ¸
p u n kc ie
( c, f( c) ) , c ∈ ( a,b) .
D E FIN ICJA . Za l´o z m y, z e fu n kc ja f je s t r ´o z n ic z ko wa ln a w p e wn ym s ¸a s ie d z t wie p u n kt u
x
0
. M´o wim y, z e p u n kt ( x
0
, f( x
0
) ) je s t punktem przegiecia wykr e s u fu n kc ji y = f( x) ,
je z e li wykr e s t e n je s t wyp u kly z je d n e j, a wkl¸e s ly z d r u g ie j s t r o n y t e g o p u n kt u .
TW IE R D ZE N IE . Za l´o z m y, z e f
′′
je s t fu n kc j¸a c i¸a g l¸a w ( a,b) . Je z e li f
′′
( x) > 0
d la x ∈ ( a, b) , t o wykr e s fu n kc ji f je s t wyp u kly w t ym
p r z e d z ia le . Je z e li n a t o m ia s t
f
′′
( x) < 0
d la x ∈ ( a,b) , t o wykr e s fu n kc ji f je s t wkl¸e s ly.
P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c e ks t r e m a fu n kc ji o r a z a s ym p t o t y, p r z e d z ia ly wyp u klo ´s c i, wkl¸e s lo ´s c i
i p u n kt y p r z e g i¸e c ia wykr e s u fu n kc ji f( x) =
π
a r c s in
2x
x
2
+1
.
2x
x
2
+1
≤ 1 ,
−x
2
− 1 ≤ 2 x ≤ x
2
+ 1 ,
−x
2
− 2 x − 1 ≤ 0 ≤ x
2
− 2 x + 1 ,
−( x + 1 )
2
≤ 0 ≤ ( x − 1 )
2
,
D
f
= R.
N ie m a wi¸e c a s ym p t o t p io n o wyc h . Je s t a s ym p t o t a p o z io m a ( p r a wa i le wa ) o r ´o wn a n iu
y = 0 , g d y˙
D z ie d z in a fu n kc ji:
−1
≤
2
x
1 +
2 x
x
2
+ 1
2
π
a r c s in
=
2
lim
x→±∞
f( x) = lim
x→±∞
π
a r c s in
= lim
x→±∞
π
a r c s in 0 = 0 .
1
x
2
P o c h o d n a :
f
′
( x) =
2
2 ( x
2
+ 1 )
−
2 x
2 x
( x
2
+ 1 )
2
2 x
2
+ 2 − 4 x
2
=
2
π
q
√
π
x
4
+ 2 x
2
+ 1
− 4 x
2
( x
2
+ 1 )
4x
2
(x
2
+1)
2
−
− 2 x
2
1 − x
2
=
2
( x
2
− 1 )
2
=
4
p
( x
2
+ 1 ) |x
2
− 1 |
.
π
π
( x
2
+ 1 )
D z ie d z in a p o c h o d n e j: D
f
′
= R \ {−1 , 1 }.
P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o e ks t r e m u m
lo ka ln e fu n kc ji f t o x
1
= −1
o r a z x
2
= 1 .
1−x
2
m a m y f
′
( x) =
π
(x
2
+1)(−x
2
+1)
=
π
1
D la x ∈ ( −1 , 1 )
x
2
+1
> 0 .
1−x
2
m a m y f
′
( x) =
π
(x
2
+1)(x
2
−1)
=
π
−1
D la x ∈ ( −∞, −1 ) ∪ ( 1 ,∞)
x
2
+1
< 0 .
Fu n kc ja f r o ´s n ie w p r z e d z ia le
( −1 , 1 ) , m a le je w ( −∞,−1 ) o r a z m a le je w ( 1 , ∞) .
Os i¸a g a m in im u m
d la x
1
= −1 , a m a ks im u m
d la x
2
= 1 .
′
=
π
m a m y f
′′
( x) =
4
π
1
−2x
D la x ∈ ( −1 , 1 )
(x
2
+1)
2
.
x
2
+1
′
=
π
4
π
−
1
2x
m a m y f
′′
( x) =
D la x ∈ ( −∞, −1 ) ∪ ( 1 ,∞)
(x
2
+1)
2
.
x
2
+1
ykr e s fu n kc ji je s t wi¸e c wyp u kly w p r z e d z ia la c h
( −1 , 0 ) o r a z
( 1 ,∞) , a wkl¸e s ly w
( −∞,−1 ) o r a z ( 0 , 1 ) . P r z y p r z e j´s c iu p r z e z x
1
= −1 , x
2
= 1
o r a z x
3
= 0
p o c h o d n a
f
′′
z m ie n ia z n a k, z a t e m
m a m y t r z y p u n kt y p r z e g i¸e c ia : ( −1 , −1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) .

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl